Las medianas de ABC, cuando se extienden, se intersecan con su circuncírculo en los puntos L, M, N. Demuestre que si$LM=LN$ entonces$LM=BC$

Question

Aquí está el problema original que yo era capaz de resolver aquí:

Las medianas de $ABC$, cuando se extiende, se cruzan de su circunferencia circunscrita en puntos de $L, M, N$. Si $L$ se encuentra en la mediana de la a través de $A$ e $LM = LN$, probar que: $2BC^{2}=CA^2+AB^2$.

Sin embargo, este problema tiene una joya escondida en ella. Esta es, en realidad, mi propia conjetura:

Si $LM=LN$ entonces $LM=BC$

Voy a llamar a esto "una conjetura", pero te garantizo que es correcta. He jugado con Geogebra mucho y se encontró que la expresión sea verdadera, sin duda (Si ves que punto pequeño en la esquina superior izquierda, que es mi arrastrar punto. Cuando se mueve, cambia la forma del triángulo).

A pesar del hecho de que yo era capaz de resolver el problema original, el mayor problema se niega a ceder. Parece ser mucho más difícil que el original. O yo estoy ciego después de pasar tantas horas en el mismo problema.

Answer 1

Yo diría que es obvio.

Sólo tiene que utilizar su gráfico,denotan el punto medio de la $BC$ como $X$,centroide como $G$.

Primero, de $2AX^2+2BX^2=AB^2+AC^2=2BC^2$,e $3GX=AX$, obtenemos $GX ={{\sqrt3}\over 6}BC$.

Segundo,$LX*XA=BX*XC$,obtenemos $LX={{\sqrt3}\over 6}BC$.

Por lo $CGBL$ es un Paralelogramo, por lo $CL \parallel MB$,y el resultado de la siguiente manera.