¿Es el funtor identidad naturalmente isomorfo a un funtor dual covariante?

Question

A menudo se dice que los espacios vectoriales no son naturalmente isomorfos a los espacios duales, porque el funtor dual no es naturalmente isomorfo al funtor identidad. Pero esto último es una afirmación bastante trivial, porque no se puede tener una transformación natural entre un functor contravariante y un funtor covariante. Así que me gustaría ver si se puede modificar en algo menos trivial.

Sea $VectIso$ sea la categoría con espacios vectoriales como objetos y transformaciones lineales biyectivas como morfismos. Sea $D:VectIso\rightarrow VectIso$ sea un functor covariante definido por $D(V)=V^*$ para cualquier espacio vectorial $V$ y $D(T)(f)=f\circ T^{-1}$ para cualquier transformación lineal biyectiva $T:V\rightarrow W$ y cualquier funcional lineal $f\in V^*$ .

Entonces mi pregunta es $D$ ¿es naturalmente isomorfo al functor identidad? Supongo que la respuesta es no, pero ¿cómo lo demostrarías?

Answer 1

Supongamos que tenemos una transformación natural $\eta: 1 \Rightarrow D$ . Sea $V$ sea un espacio vectorial y $T \in GL(V)$ . La condición de naturalidad afirma que para todo $v \in V$ tenemos $$\eta_V(Tv) = \eta_V(v) \circ T^{-1}.$$ Fijar $v \in V \setminus \{0\}$ y que $f = \eta_V(v)$ . Desde $GL(V)$ actúa transitivamente sobre $V \setminus \{0\}$ vemos que $\eta_V: V \to V^*$ está completamente determinada por $f$ según la ecuación anterior.

Tenemos que comprobar que $\eta_V$ está bien definida. En particular, necesitamos tener $$f = f \circ T$$ para todos $T$ fijación de $v$ .

Seamos más concretos. Dejemos que $V = \mathbb{R} \langle e_1, e_2, e_3 \rangle$ y $v = e_1$ . Considere las transformaciones $T \in GL(V)$ como sigue: $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$ Todas estas matrices fijan $e_1$ . Introduciéndolos en la ecuación $f = f \circ T$ encontramos \begin{align} f(e_2) &= f(e_1) + f(e_2) \\ f(e_3) &= f(e_2) + f(e_3) \\ f(e_2) &= f(e_3) \end{align}

En consecuencia, tenemos $f(e_1) = f(e_2) = f(e_3) = 0$ de modo que $f$ es el funcional lineal cero. Pero entonces $\eta_V(e_1) = 0 = \eta_V(0)$ contradiciendo el hecho de que $\eta_V$ es un isomorfismo lineal. Así que ninguna transformación natural $\eta: 1 \Rightarrow D$ puede existir.

Answer 2

En primer lugar, tenga en cuenta que sólo debe exigir trabajar con espacios vectoriales de dimensión finita, de lo contrario la respuesta es no por razones triviales (es decir, que un espacio vectorial no tiene por qué ser isomorfo a su dual).

Teniendo esto en cuenta, la respuesta (poco sorprendente) sigue siendo no. Para ello utilizaré la conocida equivalencia entre la categoría de los espacios vectoriales de dimensión finita y la categoría de los enteros, con las matrices como flechas. Entonces tu categoría es el núcleo de la categoría de espacios vectoriales de dimensión finita, por lo que es equivalente al núcleo de la categoría de enteros con matrices, es decir, al coproducto de los grupos $GL(n, k)$ (vistas como categorías con un objeto).

En esta categoría, el funtor dual se convierte en la identidad sobre los objetos, y en la transposición de la inversa sobre las flechas : $f\mapsto (f^{-1})^T$ (aquí estoy haciendo un poco de trampa, porque supuse que la equivalencia entre tu categoría y su esqueleto era compatible con duales, es decir si $V$ se envía a $n$ con base $(e_i)$ entonces $V^*$ se le debe dar la base dual : pero eso se puede resolver, porque un dual se puede identificar set-teóricamente, es decir. $V$ puede recuperarse de $V^*$ y el rango de $V$ - rango ordinal- es estrictamente menor que el de $V^*$ para que puedas hacer tus elecciones de forma consistente; eso es un poco de truco de teoría de conjuntos)

Por lo tanto, un isomorfismo natural entre esa y la cantidad de identidad sto una familia $(\alpha_n)$ de elementos de $GL(n,k)$ tal que para todo $f\in GL(n,k), (f^{-1})^T=\alpha_n\circ f\circ \alpha_n^{-1}$ .

Por ejemplo, para $f$ una matriz de permutación da como resultado que $\alpha_n$ conmuta con aquellos; y un cálculo rápido indica que esto significa algo así como el resultado aquí ; ahora tomando $f$ diagonal con entradas $1$ o $-1$ te da que las entradas no diagonales deben ser $0$ (aquí estoy asumiendo que $1\neq -1$ en $k$ - o tomando diferentes entradas diagonales, que el campo tiene al menos $3$ elementos); así $\alpha_n$ es un escalar, lo que da como resultado $(f^{-1})^T=f$ para todos $f$ lo que, por supuesto, es absurdo para cualquier campo $k$

(Si sabes suficiente álgebra lineal, puedes ser más rápido : esto implicaría que $f$ y $f^{-1}$ son siempre conjugados, en particular tendrían los mismos valores propios, lo que es por supuesto absurdo para cualquier campo, ya que $n$ suficientemente grande)