¿Por qué el Segundo Teorema de Incompletitud de Gödel socava el programa de Hilbert?

Question

Recordemos que Gödel Primer Teorema de la Incompletitud (indicar GIT1) establece, a grandes rasgos, cualquier sistema axiomático $S$ más fuerte que la Aritmética de Peano (PA) no puede ser "cubierto" por un número finito de axiomas. GIT2 estados, más o menos, que además, dichas $S$ no puede demostrar, en sí mismo, su propia consistencia (indicar $\mathrm{cons}\; S$). Y se dice a menudo que GIT1, junto con GIT2, invalida el programa de Hilbert (HP).

Es bastante obvio para mí que GIT1 declara HP a ser problemático, si no imposible. Pero lo que GIT2 dice de HP, es menos evidente. De hecho, incluso si $\mathrm{cons}\; S$ fueron un teorema dentro de S, que es

$$\models_S \mathrm{cons}\; S$$

y supongamos que vamos a hacer no sé GIT2. Entonces, es posible que $S$ es incoherente, y una contradicción fórmula es un teorema en $S$, lo que supone, a su vez $\mathrm{cons}\; S$. Por lo tanto, parece que, si $\mathrm{cons}\; S$ es un teorema o no, no es muy importante. Si es así, GIT2 en realidad no nos dicen mucho diciendo que $\mathrm{cons}\; S$ no es un teorema de la $S$.

Entonces, ¿cómo fue GIT2 una mala noticia para Hilbert de la vista?

Answer 1

En primer lugar, como otros han señalado, su caracterización de GIT1 no es correcto. Lo que en realidad aproximadamente que dice es que cualquier completa y coherente de la teoría más fuerte que la PA puede ser generado por un decidable conjunto de axiomas. Esto no matar a las perspectivas de un único sistema formal que decide "todos los de las matemáticas", que fue uno de Hilbert más elevadas metas.$^*$

Pero otro gran aspecto a tener un finitary la prueba de la consistencia de un sistema que subyace a las matemáticas, que todavía tiene sentido como una meta, incluso si ese sistema es necesariamente incompleta. Por ejemplo. podríamos decir que el sistema es ZFC, que sabemos nos permite formalizar la más conocida de las matemáticas, aunque también sabemos que hay declaraciones que no se puede decidir (siempre y cuando sea consistente).

Tengo un par de dudas con el argumento de que una prueba de Con(S) en S no nos dice mucho, pero para la mayor parte estoy de acuerdo, así que voy a conceder para los efectos de esta respuesta. Sin embargo, el objetivo es mucho más ambicioso que este: queremos demostrar la consistencia de nuestro sistema de matemáticas (decir ZFC) en una muy débil finitary teoría de la aritmética (es decir PRA), no sólo en ZFC. Seguramente sería deseable y significativo, si que podrían llevarse a cabo. Sin embargo, si GIT2 nos dice ZFC no puede probarlo, entonces, ciertamente, una más débil de la teoría como PRA tampoco puedo. Así GIT2 es, de hecho, una mala noticia para este aspecto del programa.

$^*$ Soy un pésimo matemático pero incluso peor de historiador. Lo que yo digo es basado en mi entendimiento desde el folclore de qué Programa de Hilbert era y puede o no relacionarse con nada de Hilbert realmente dicho o creído.

Answer 2

Programa de Hilbert era una búsqueda de un fundamento sólido para las matemáticas en la que dos hechos obvios sobre matemáticas verdad. Cada instrucción puede ser probada, verdadero o falso y cada resultado demostró no es trivialmente cierto. Si $S$ es inconsistente uno puede demostrar que cualquier afirmación es verdadera uso de la prueba por contradicción, lo que significa demostrar que un enunciado es verdadero en un incoherente sistema de axiomas es sin sentido.

Lo Gödels segundo teorema de la incompletitud muestra es que nunca se puede demostrar que cualquier "interesante" sistema de axiomas es consistente, lo que significa que cualquier día un matemático puede mostrar un resultado que contradice los resultados anteriores y de procesamiento años de matemáticas progreso de valor. (Para los matemáticos es decir, el resto de la sociedad puede todavía felizmente el uso de la matemática sobre la que se construye.)

Answer 3

Creo que la pregunta "Utilidad del teorema de incompletitud de Gödel" en realidad es un duplicado de mi pregunta, y la respuesta es satisfactoria.