En un triángulo isósceles$ABC$, muestre que$PM+PN$ no depende de la posición del punto elegido P.

Question

Deje $ABC$ ser un triángulo tal que $AB = AC$. Deje $P$ ser un punto en $BC$. Deje $M, N$ a ser los pies de las perpendiculares desde $P$ a $AB$ e $AC$respectivamente. Demostrar que el valor de la suma de $PM+PN$ no depende de la posición del punto elegido P.

Mi pruebe

Yo no progreso mucho en este problema, pero voy a poner lo que he visto:

En primer lugar, traté de dibujar la línea de $AP$, de esa manera el derecho de triángulos $AMP$ e $ANP$ tienen la misma hipotenusa. Después de eso traté de Pitágoras, pero no he encontrado nada.

Después de que me di cuenta de que el derecho triángulos $MBP$ e $NCP$ son similares. He intentado algunas operaciones con las propiedades de los triángulos semejantes, pero también he encontrado nada.

Cualquier sugerencias?

Answer 1

Observe que $$\frac{AB·PM}{2}+\frac{AC·PN}{2}=\frac{BC·h_a}{2}=\text{Area of }\Delta ABC$ $ desde $AB=AC$

PS

que es constante (y por lo tanto no depende de la posición de$$PM+PN=\frac{BC·h_a}{AB}=h_b=h_c$ ). $P$

Answer 2

Consejo: deje que $N'$ sea el punto simétrico de $N$ con respecto al lado $BC$ . Al reconocer que $M,P,N'$ está alineado (use ángulos), su problema es equivalente a mostrar que la distancia $MN'$ permanece igual cuando $P$ varía en $BC$ .

Answer 3

$PBM$ es similar a $PCN.$

$MP$ es proporcional a $BP$ como $NP$ es $CP$ como $MP + NP$ es proporcional a $BP + CP$

$BP+CP = BC$ y no varían con base en la ubicación de $P.$

Answer 4

Sugerencia: dibuje en las altitudes desde $B$ y $C$ . ¿Desde allí? Trabaja con triángulos similares o dibuja más cosas. Con frecuencia es una buena idea agregar a un diagrama en un problema de geometría.

Además, una imagen: