¿Es de $n(n+1)$ nunca un factorial?

Question

Brocard del problema pregunta si $(n-1)(n+1)$ es siempre un factorial. Mi pregunta es similar: es $n(n+1)$ de cada vez un factorial?

Esto puede ser visto como el caso especial de $k=2$ de la pregunta: por $2\le k\le la n-2,$ cuando $n!/(n-k)!$ un factorial? Yo sé de un solo caso, $10!/7!=6!$ (ver A109095).

He verificado que la ausencia de soluciones para $n<10^{85}$ por lo que su ausencia parece cierto. Esto puede ser demostrado? (Lo ha sido?) Yo también estaría interesado en obtener información sobre el problema general.

Edit: recién recuperado un poco de interés en este problema, he verificado hasta $m\le10^9$ o $n<10^{4282852761}$ usando aritmética modular a 37 grandes números primos. (Cada valor de $m$ requerida 37 modular multiplicaciones y un promedio de 2 símbolos de Legendre.)

Answer 1

Este es un problema interesante. No tengo una solución a algunas observaciones.

$n$ y $n+1$ son relativamente primos mediante el algoritmo de Euclides:

$$\gcd(n+1,n) = \gcd(n,1) = \gcd(1,0) = 1$$

Los dos números secuenciales, por lo tanto, no comparten factores comunes. Sólo uno de los números es incluso (por razones obvias), por lo que debe contener $2$ a algunas de alimentación de $x$. Sin embargo, no contiene todos los poderes de $2 dólares. Los poderes que pueden contener seguir una secuencia: $1,3,4,7,8,10,11,15,16,18,19,22,23,25,26,31,32,34,35,38....$

Por ejemplo, $4 \times (\text{sólo impar de factores})$, nunca producirán un factorial. Sin embargo, $4 \times (3 \times 5 \times 7) = (4 \5 veces) \times (3 \times 7) = (20)(21).$

No sé si va en la dirección correcta, pero si se puede usar este hecho para cubrir todo el conjunto de números enteros se puede probar que $n\times(n+1)$ nunca es un factorial, excepto para el caso trivial ya se ha mencionado.

Answer 2

Solucionar una cuadrática por $ n $ y eligiendo una raíz positiva, obtenemos:

$ 2n = \sqrt {1 + 4 k!} -1 $

Así que todos tenemos que mostrar es que los únicos casos en que $ 1 + 4 k! $ es un cuadrado perfecto cuando es k $ = 2 $ y $ k = 3 $.

P.S.: Lo siento por mi estilo de notación de teoría de números no.