Demostrando que$5^n+6^n$ y$5^{n+1}+6^{n+1}$ son coprime para todos$n \in \mathbb{N}^*$

Question

Necesito demostrar, usando la identidad de Bézout, que $5^n+6^n$ y $5^{n+1}+6^{n+1}$ son coprime para todos $n \in \mathbb{N}^*$ . Sé que si son coprime existen $u,v \in \mathbb{Z}$ tal que:

$u(5^n+6^n)+v(5^{n+1}+6^{n+1})=1$ ,

pero no estoy seguro de cómo proceder desde aquí. Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Deje $$a_n=5^n+6^n$$

Desde $5,6$ son las raíces de $$0=(x-5)(x-6)=x^2-11x+30$$ we deduce that the $a_n$ satisfy the recursion $$a_n=11a_{n-1}-30a_{n-2}\quad a_0=2\quad a_1=11$$

De esto resulta claro que si cualquiera de las $a_n,a_{n-1}$ tienen un factor común para cualquier $n$, factor que a su vez se divide $a_{n-2}$. (Nota: se ha $\gcd(a_n,30)=1$ para todos los $n$ así podemos ignorar el coeficiente de la $a_{n-2}$ plazo). Desde $a_0,a_1$ no tienen factores comunes, hemos terminado.

Answer 2

¿Quieres la identidad de Bezout? Aqui hay uno.

$(6^n,5^n)=1$ , por lo que existen enteros $s,t$ tales que $s*6^n+t*5^n=1$ .

Entonces tenemos $(s-t)(6^{n+1}+5^{n+1})+(-5s+6t)(6^n+5^n)=1$

Answer 3

Sugerencia $ $ Por Euclid: $(a\!+\!b,\,5a\!+\!6b) = (a\!+\!b,\,5a\!+\!6b-5(a\!+\!b)) = (a\!+\!b,\,b) = (a,b)$

Answer 4

También se puede hacer como, vamos a $d_n=(5^n+6^n,5^{n+1}+6^{n+1})$. Desde $d_n\mid 5^n+6^n$, $d_n\mid 5^{n+1}+5\cdot 6^n$, por lo tanto, $d_n\mid 5^{n+1}+6^{n+1}-(5^{n+1}+5\cdot 6^n)=6^n$. Si $p\mid d_n$ un primo, a continuación, $p\in\{2,3\}$. Ahora, ejecute el mismo argumento, esta vez notando $d_n\mid (6\cdot 5^n+6^{n+1})-(5^{n+1}+6^{n+1})=5^n$, por lo tanto, cualquier $p\mid d_n$ satisfacer $p\in\{5\}$, contradicción.