Prueba geométrica rigurosa de que dA=rdrdθ?

Question

He visto la misma pregunta que la anterior tanto para la derivación geométrica de coordenadas polares como para la transformación x-y de coordenadas polares. La primera respuesta afirma que:

"En el enfoque geométrico, dr2=0 ya que no es solo pequeño sino también simétrico(vea aquí)." Y enlaza a un artículo de wikipedia sobre álgebra exterior. ¿Podría alguien aclararme esto? Para reiterar:

Dadas las coordenadas polares de un 'sector circular' Geométricamente, el área exacta sería $$\frac{(r+dr)^2d}{2}\frac{r^2d}{2}$$ $$=(r+\frac{dr}{2})drd$$ $$= r dr d\theta + \frac{dr^2 d\theta}{2}$$ ¿Cómo nos deshacemos de $\frac{dr^2d}{2}$? ¿Por qué se nos permite considerarlo insignificante hasta el punto en que podemos ignorarlo en lugar de mantener los valores diminutos de $dr$ y $d\theta$

Answer 1

El significado de $dA=r dr d\theta$ es que cuando se integra sobre una región con respecto a $dA$, se obtiene el mismo resultado que al parametrizarla en coordenadas polares e integrarla con respecto al diferencial $r dr d \theta$.

Por lo tanto, su pregunta (porque $d\theta$ no es un problema) se reduce a demostrar que "integrar" contra un diferencial como "$(dr)^2$" da cero. Lo que esto realmente significa es que las sumas de la forma $S=\sum_i f(r_i) (\Delta r)_i^2$ deben tender a cero a medida que se refina la partición.

Para $f$ acotado, por ejemplo, $|S| \leq ML\delta$ donde $M$ es la cota de $|f|$, $L$ es la longitud total del intervalo, y $\delta$ es el más largo de los $(\Delta r)_i$. Esto efectivamente tiende a cero a medida que $\delta \to 0$.

El punto puede ser entendido sin inspeccionar todos los detalles simplemente contando cuántos términos hay (llamémoslo $n$) y qué tan pequeños son los términos individuales en relación con eso (que están en el orden de $1/n^2$).

Answer 2

$$\lim_{d\theta,dr\to0}\frac{r\,dr\,d\theta+\frac12dr^2d\theta}{dr\,d\theta}=\lim_{d\theta,dr\to0}(r+\tfrac12dr)=r.$$