Primero de todo, dejar claro que, en el común de hablar
"la distribución de $n$ idénticos (inapreciable) bolas en $k$ distintos (distinguibles) cajas"
no tiene la misma acepción como
"el lanzamiento de $n$ idénticos (inapreciable) bolas en $k$ distintos (distinguibles) cajas"
En el primer caso (distribución, verter, ..) se entiende que se considera el número de diferentes
ocupación hystograms, es decir, el número de k-tuplas $(x_1,x_2, \cdots , x_k)$ tales que
$$
\left\{ \matriz{
{\rm 0} \le {\rm integer}\;x_{\,j} \hfill \cr
x_{\,1} + x_{\,2} + \; \cdots \; + x_{\,k} = n \hfill \cr} \right.
$$
que son "débiles", Composiciones de $n$ a $k$ partes,
y en su caso particular, el complemento del caso en el que el cuadro no está vacía
$$
\left\{ \matriz{
{\rm 1} \le {\rm integer}\;x_{\,j} \hfill \cr
x_{\,1} + x_{\,2} + \; \cdots \; + x_{\,k} = n \hfill \cr} \right.\quad \Rightarrow \quad \left\{ \matriz{
{\rm 0} \le {\rm integer}\;y_{\,j} \hfill \cr
y_{\,1} + y_{\,2} + \; \cdots \; + y_{\,k} = n - k \hfill \cr} \right.
$$
que son el "estándar" Composiciones de $n$ a $k$ partes.
Como se explica en la que se hace referencia en el artículo son, respectivamente,
$$
N_w = \binom{n+k-1}{n} \quad
N_s =\binom{n-1}{n-k} \quad \left| {\;0 \le n,k} \right.
$$
tenga en cuenta que esta forma de escritura de los binomios se extiende la definición también nulos los valores de los parámetros.
La repartición de $N_w$ sobre las configuraciones con exactamente $j$ cajas vacías está dada por
$$
N_w = \binom{n+k-1}{n}
= \sum\limits_{\left( {0\, \le } \right)j\left( { \le k} \right)} {\binom{k}{j} \binom{n-1}{n - \left( {k - j} \right) } }
$$
El número de configuraciones en las que, precisamente, el cuadro de $i$ está vacía, entonces claramente se
$N_w(n,k-1)$ si los demás pueden estar vacías o no, y $N_s(n,k-1)$ si los demás son no vacíos.
Así que tienes razón, y
la respuesta global a su problema
$$
N = N_w - N_s = \binom{n+k-1}{n} - \binom{n-1}{n-k}
$$
