Después de que ayer aventuras en la fuerza bruta de la computación, me he puesto a hacer algo de teoría.
De hecho, hay que arbitrariamente grandes conjuntos de enteros positivos con la deseada
de la propiedad. A continuación es un pseudocódigo del algoritmo que, dado cualquier conjunto, produce un
uno más grande. No he escrito la justificación de las medidas, pero la
las verificaciones de rutina, excepto el Paso 2, discuten a continuación. La observación clave
es que la propiedad se conserva si el conjunto es traducido por un múltiplo común de todos los
los pares de diferencias.
Algoritmo
Entrada: Un conjunto de $t > 0$ enteros positivos $a_1,\ldots,a_t$con
$\operatorname{gcd}(a_i, a_j) = {\mid} a_i - a_j \mid$ para $i \ne j$.
Salida: Un conjunto de $t + 1$ enteros positivos con la misma propiedad.
Paso 1. (Inicializar.)
Set $m = \operatorname{lcm}(\{a_i - a_j\})$ (el mínimo común múltiplo de todos los
pares de diferencias), $M = \operatorname{lcm}(\{a_i\})$.
Paso 2. (Elegir candidato para la nueva entrada.)
Encontrar un entero positivo $N$ tal que los coeficientes de
$q_i := {\mid} N - a_i {\mid}/\operatorname{gcd}(N,a_i)$ son todos
coprime a $M$ y el uno al otro.
Paso 3. (?)
Si todos los $q_i = 1$, establezca $a_{t+1} := N$ y regresar $a_1,...,a_{t+1}$.
Paso 4. (Tratar con una $q_i$.)
Si, para algunos $j$, $q_j \ne 1$, se encuentran varios de $m$, decir $km$,
de modo que $q_j$ divide $a_j + km$ (y por lo tanto también se $N + km$).
Set $a_i := a_i + km$ por cada $i$, $N := N + km$, $m := \operatorname{lcm}(m, q_j)$.
Calcular el $q_i := {\mid} N - a_i {\mid}/\operatorname{gcd}(N,a_i)$.
Paso 5. (Iterar.)
Vaya al paso $3$.
En el Paso $2$ no es obvio que ese $N$ debe existir, así que aquí es una fórmula:
Deje $N = M \operatorname{rad}(M)$, donde $\operatorname{rad}(M)$ es el radical
de $M$ (es decir, el producto de los distintos factores primos de a$M$). Esto va a funcionar
salvo en el caso trivial $t = 1$, $a_1 = 1$, cuando se $N = 2$ va a hacer. En la práctica,
esta fórmula da un gran $N$ y los resultados en los grandes valores de la $q_i$,
así que buscar algo más pequeño que también funciona es sensato.
Ejemplo
Empezar con $\{a_i\} = \{6, 8, 9, 12\}$.
Tenemos $m = 24$, $M = 72$.
Si utilizamos $N = M \operatorname{rad}(M) = 432$, $q_i$ se $71, 53, 47, 35$.
Como había prometido, ellos son pares coprime y también coprime a $72$.
A modo de ilustración, $N = 16$ es más conveniente la opción; el $q_i$ son entonces
$5, 1, 7, 1$.
Para solucionar $q_1 = 5$, tenemos que encontrar la $k$ , de modo que $5$ divide $24k + 6$.
$k = 1$ va a trabajar. El nuevo $a_i$ se $30, 32, 33, 36$; $N$ ahora $40$;
$m$ ahora $120$; el $q_i$ ahora $1, 1, 7, 1$.
Lo siguiente que necesitamos es encontrar $k$ , de modo que $7$ divide $120k + 33$. $k = 2$obras.
El nuevo $a_i$ se $270, 272, 273, 276$; $N$ es $280$ y ahora puede servir como $a_5$.
El resultado es $270, 272, 273, 276, 280$.
