Después de que ayer aventuras en la fuerza bruta de la computación, me he puesto a hacer algo de teoría.
De hecho, hay que arbitrariamente grandes conjuntos de enteros positivos con la deseada
de la propiedad. A continuación es un pseudocódigo del algoritmo que, dado cualquier conjunto, produce un
uno más grande. No he escrito la justificación de las medidas, pero la
las verificaciones de rutina, excepto el Paso 2, discuten a continuación. La observación clave
es que la propiedad se conserva si el conjunto es traducido por un múltiplo común de todos los
los pares de diferencias.
Algoritmo
Entrada: Un conjunto de t>0 enteros positivos a1,…,atcon
gcd(ai,aj)=∣ai−aj∣ para i≠j.
Salida: Un conjunto de t+1 enteros positivos con la misma propiedad.
Paso 1. (Inicializar.)
Set m=lcm({ai−aj}) (el mínimo común múltiplo de todos los
pares de diferencias), M=lcm({ai}).
Paso 2. (Elegir candidato para la nueva entrada.)
Encontrar un entero positivo N tal que los coeficientes de
qi:=∣N−ai∣/gcd(N,ai) son todos
coprime a M y el uno al otro.
Paso 3. (?)
Si todos los qi=1, establezca at+1:=N y regresar a1,...,at+1.
Paso 4. (Tratar con una qi.)
Si, para algunos j, qj≠1, se encuentran varios de m, decir km,
de modo que qj divide aj+km (y por lo tanto también se N+km).
Set ai:=ai+km por cada i, N:=N+km, m:=lcm(m,qj).
Calcular el qi:=∣N−ai∣/gcd(N,ai).
Paso 5. (Iterar.)
Vaya al paso 3.
En el Paso 2 no es obvio que ese N debe existir, así que aquí es una fórmula:
Deje N=Mrad(M), donde rad(M) es el radical
de M (es decir, el producto de los distintos factores primos de aM). Esto va a funcionar
salvo en el caso trivial t=1, a1=1, cuando se N=2 va a hacer. En la práctica,
esta fórmula da un gran N y los resultados en los grandes valores de la qi,
así que buscar algo más pequeño que también funciona es sensato.
Ejemplo
Empezar con {ai}={6,8,9,12}.
Tenemos m=24, M=72.
Si utilizamos N=Mrad(M)=432, qi se 71,53,47,35.
Como había prometido, ellos son pares coprime y también coprime a 72.
A modo de ilustración, N=16 es más conveniente la opción; el qi son entonces
5,1,7,1.
Para solucionar q1=5, tenemos que encontrar la k , de modo que 5 divide 24k+6.
k=1 va a trabajar. El nuevo ai se 30,32,33,36; N ahora 40;
m ahora 120; el qi ahora 1,1,7,1.
Lo siguiente que necesitamos es encontrar k , de modo que 7 divide 120k+33. k=2obras.
El nuevo ai se 270,272,273,276; N es 280 y ahora puede servir como a5.
El resultado es 270,272,273,276,280.