Hamilton ecuación de lee $$ \frac{d}{dt} F = \{ F,H\} \, .$$ En palabras, esto significa que $H$ actúa en $T$ a través de la fase natural del espacio producto (el corchete de Poisson) y el resultado es el correcto tiempo de evolución de la $F$. En otras palabras $H$ genera temportal turnos de $t \to t +dt$.
La función de $F$ más de espacio de fase se describe una conserva de quantitiy si $$ \frac{d}{dt} F = \{ F,H\} =0 \, .$$ Tro del teorema ahora exploits que el corchete de Poisson es antisimétrica $$ \{ A,B\} = - \{ B,A\} .$$ Por lo tanto, podemos invertir el papel de las dos funciones en la distribución de Poisson soporte por encima de $$ \{ F,H\} =0 \quad \leftrightarrow \quad \{ H,F\} =0 \,. $$ En palabras, esta segunda ecuación nos dice que para cualquier conservado cantidad $F$, su acción sobre el Hamiltoniano $H$ es cero. En otras palabras, $F$ genera como la simetría. Este es exactamente el teorema de Noether.
Pero por lo general, se argumenta que sólo el Lagrangiano tiene que ser invariante. El Hamiltoniano puede cambiar bajo simetrías como aumenta la cual aumenta el potencial de la energía. (Mientras que el Lagrangiano es un escalar, el Hamiltoniano es sólo uno de los componentes de la energía-impulso del vector y por lo tanto, no hay ninguna razón por qué debería ser invariante.)
Entonces, ¿por qué íbamos a encontrar en el Hamiltoniano versión del teorema de Noether que el Hamiltoniano permanece invariante bajo la simetría transformmations?
