¿Por qué tengo problemas cuando no reduzco completamente este problema integral?

Question

Estoy tratando de encontrar la integral de:

$$\int \frac{dx}{x\sqrt{x-1}}$$

si hago esto $u$-sub:

$u = \sqrt{x-1}$ e $u^2 = x-1$ e $x = u^2 + 1$ e $\frac{dx}{du} = 2u$ y $dx = 2udu$

Luego me sale:

$$\int \frac{2udu}{(u^2+1)u}$$

si hago una fracción parcial de este viento arriba pegado y me pregunto por qué:

$$\frac{2udu}{(u^2+1)u} = \frac{A}{u} + \frac{Bu + C}{u^2+1}$$

$$2u = Au^2 + A + Bu^2 + Cu$$

$$2u = u^2(A+B) + Cu + A$$

$$C = 2$$

$$A=0$$ $$B=0$$

Pero eso no parece correcto, porque entonces me gustaría obtener $\frac{2}{u^2+1}$ que no es igual a la fracción original.

Pero si hago un poco de la cancelación:

$$\frac{2udu}{(u^2+1)u} = \frac{2}{u^2+1} = 2 \frac{1}{u^2 + 1}$$

Así, entonces:

$$\int \frac{2udu}{(u^2+1)u}$$

$$2 \int \frac{1}{u^2 + 1} du$$

$$ = 2\arctan(u)$$

$$2\arctan(\sqrt{x-1}) + C$$

No simplificar la ruina parcial de las fracciones?

EDITAR

ohhhhhh voy a conseguir. Es la misma cosa! Reducción o el uso parcial de las fracciones, I termina con $\int \frac{2}{u^2+1}$. Es ese derecho?$

Answer 1

Como ve en sus operaciones, no canceló $u$ de su fracción, por lo que la parte $u$ de las fracciones parciales tenía un coeficiente de $0$ , por lo tanto, no existe en el simplificación, que es lo que se puede esperar considerando que se puede cancelar.

Answer 2

Creo que la respuesta ya ha hecho clic para usted, pero sólo para aclarar: sí, tanto en su trabajo el uso parcial de las fracciones y su trabajo la cancelación de $u$ en el numerador y el denominador del integrando $\frac {2u}{(u^2+1)u}$ conducen a la correcta misma expresión simplificada de $\frac 2{u^2+1}$ para el integrando, a partir de la cual usted correctamente finalizar la evaluación de la integral.

A menudo puede ser bastante fácil ligeramente confundir a sí mismo cuando la manipulación de expresiones algebraicas, especialmente cuando se realiza la integración. Aquí, a pesar del hecho de que usted luchó llegar a una solución, todos los de la 'real' de las matemáticas que hice fue (esencialmente) correcto! Fueron sólo se detuvo al final de la fracción parcial de trabajo por un ligero bache mental.

Me parece que es más fácil para evitar esto, cuando empecé mi trabajo de la manera más clara y sencilla posible. El más partes hay a las expresiones algebraicas que estoy trabajando y el más esfuerzo que tengo que usar para leer lo que he escrito más probable es que voy a cometer un error o momentáneamente no pensar correctamente acerca de lo que estoy haciendo. Menciono que su trabajo sólo era esencialmente correcta; no ha sido completamente disciplinado con su manejo de $du$. Es decir, $$\frac {2udu}{(u^2+1)u} \neq \frac Au + \frac {Bu+C}{u^2 +1}$$ and $$\frac {2udu}{(u^2+1)u} \neq \frac 2{u^2+1}$$ unlike what you've written. In both of these cases $du$ ha desaparecido desde el lado derecho de la ecuación!

Para hacer las cosas más claras y más simple, una vez que has llegado a la expresión de $\int \frac {2udu}{(u^2+1)u}$ tenga en cuenta que usted está tratando de manipular el integrando $\frac {2u}{(u^2+1)u}$ a un formato que se puede integrar y así es más fácil salir de $du$ totalmente fuera de la manipulación de trabajo. Si usted comienza por el lugar tratando de manipular $$\frac {2u}{(u^2+1)u}$$ you'll probably realise straight away that you can cancel $u$ desde el numerador y el denominador y así evitar el inicio de va por el mucho más largo (pero igual de válido) de la ruta de la utilización de fracciones parciales.

(Como nota final, ser cuidadoso en la que se le añade la constante arbitraria cuando la integración por sustitución. Usted debería haber añadido una línea antes de que usted lo hizo. Su trabajo debe leer $$2\int \frac 1{u^2+1}du = 2\arctan (u) + C$$ This is because the arbitrary constant is a result of performing the integration, not of substituting back $\sqrt {x-1}$ for $u$, como está implícito en su trabajo.)