En el libro "Elliptic curves, number theory and cryptography" de Washington en el apartado 2.5.2 dice que no es nada trivial demostrar que las únicas soluciones racionales de la curva $y^2=x^3-432$ son $(12,\pm36)$ y $\infty$ . Tengo curiosidad por saber cómo se puede demostrar esto.
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Ricardo Buring
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Lo siguiente es una reducción a $4(x')^3 = (y')^2 + 27$ y $(x'')^3 = 3(y'')^2+16$ (¿podría ser un poco más fácil?)
Editar: Esto es para entero soluciones (perdón, he leído mal la pregunta).
Escribe la ecuación como $x^3 = y^2 + 432 = (y - \sqrt{-423})(y+\sqrt{-432}) = (y - 12\sqrt{-3})(y + 12\sqrt{-3})$ .
El anillo de enteros de $K = \mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ es $\mathcal{O}_K = \mathbb{Z}\big[\frac{1+\sqrt{-3}}{2}\big]$ y es un UFD.
Una prima $\pi$ en $\mathcal{O}_K$ que divide a ambos $y+12\sqrt{-3}$ y $y-12\sqrt{-3}$ divide su diferencia $24\sqrt{-3} = 2^3 \sqrt{-3}^3$ .
Así, hasta las unidades $\pi = 2$ o $\pi = \sqrt{-3}$ o $\pi$ no existe.
Si $\pi=2$ entonces $y$ es par, por lo tanto $x$ es par, por lo tanto $y^2$ es divisible por 8, por lo que $y$ es divisible por $4$ Por lo tanto $x^3$ es divisible por $16$ Por lo tanto $x$ es divisible por $4$ . Sustituciones $x=4x', y=4y'$ rendimiento $4(x')^3 = (y')^2 + 27$ . Esto tiene soluciones $x'=3$ y $y'=\pm 9$ Por lo tanto $x = 12$ y $y = \pm 36$ .
Si $\pi=\sqrt{-3}$ entonces $y$ es par, por lo tanto $y^2$ es divisible por $9$ Por lo tanto $x$ es par, por lo tanto $y^2$ es divisible por $27$ Por lo tanto $y$ es divisible por $9$ . Sustituciones $x=3x'', y=9y''$ rendimiento $(x'')^3 = 3(y'')^2+16$ . Esto tiene soluciones $x''= 4$ y $y'' = \pm 4$ Por lo tanto $x = 12$ y $y = \pm 36$ de nuevo.
Si $\pi$ no existe, entonces los factores $y\pm 12\sqrt{-3} = (y\mp 12) \pm 24\big(\frac{1+\sqrt{-3}}{2}\big)$ son coprimos y por lo tanto ambos son cubos, digamos $$\begin{align*}(y-12) + 24\bigg(\frac{1+\sqrt{-3}}{2}\bigg) &= \bigg(a + b\frac{1+\sqrt{-3}}{2}\bigg)^3 \\ &= a^3 + 3ab^2\bigg(\frac{1+\sqrt{-3}}{2}\bigg)^2 + 3a^2b\bigg(\frac{1+\sqrt{-3}}{2}\bigg) + b^3\bigg(\frac{1+\sqrt{-3}}{2}\bigg)^3\\ &= a^3 + 3ab^2\bigg(\frac{1+\sqrt{-3}}{2} - 1\bigg) + 3a^2b\bigg(\frac{1+\sqrt{-3}}{2}\bigg) - b^3\\ &= (a^3 - 3ab^2 -b^3) + (3ab^2+3a^2b)\bigg(\frac{1+\sqrt{-3}}{2}\bigg)\end{align*}$$
Esto implica $3ab(a+b) = 24$ es decir $ab(a+b) = 8$ . Por lo tanto, ambos $a$ y $b$ son $\pm$ poderes de $2$ , digamos que $a = 2^n, b = 2^m$ con $n \leq m$ w.l.o.g. (la ecuación es simétrica, y $\pm$ no afectará al argumento). A continuación, $a+b = 2^n + 2^m = 2^n(1+2^{m-n})$ es también una potencia de $2$ Así que $m-n=0$ Así que $8 = 2^n \cdot 2^n \cdot 2 \cdot 2^n = 2^{3n + 1}$ es una contradicción.
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Dejemos que $(x,y)= (X/Z,Y/Z)$ para algunos enteros $X,Y,Z$ . Una forma es despejar los denominadores para obtener $$Y^2Z = X^3 - 432Z^3,$$ y escribirlo como $$ (36 Z + Y)^3 + (36 Z - Y)^3 = (6 X)^3 $$ Entonces usando el último teorema de Fermat obtenemos $36Z+Y=0, 36Z-Y=0$ o $6X=0$ . $X=0$ no tiene soluciones enteras $Y,Z$ Así que $Y= \pm 36Z\implies y=Y/Z = \pm 36$ pero probablemente no es tan bueno como la factorización sobre campos numéricos.