Matrices en álgebras de caminos

Question

Hace poco estuve pensando en los carcajs y se me ocurrió la siguiente idea.

Dejemos que e _i,j denota la unidad de la matriz en M _n para 1 ≤ i,j ≤ n. Sea Γ el carcaj completo en los vértices {1, , n}: una arista dirigida E _i,j para cada par ordenado (i, j), incluidos los bucles propios E _i,i .

M _n (k) es entonces el cociente del álgebra de caminos PΓ por un ideal (bastante grande) generado por "2 caras" del simplex: E _i,j E _k,l \= δ _j,k E _i,l .

En este lenguaje, por ejemplo, el Borel de las matrices triangulares superiores corresponde al simplex ordenado dentro de Γ.

• ¿Esta correspondencia interesante ?
• ¿Podemos transportar las ideas de la teoría de Lie sobre gl _n (k) a la lengua del carcaj? ¿Debemos?
• ¿Qué ocurre si cotizamos por un ideal más pequeño? Digamos que sólo se reducen los caminos de longitud mínima 3 (E _i,j E _k,l E _p,q \= δ _j,k δ _l,p E _i,q ).

Mis disculpas de antemano por la vaguedad de estas preguntas.

Answer 1

Hay un poco diferente de equivalencia que también es útil. Considerar el carcaj con n elementos, y una flecha E_i de i a i+1 y otra F_i de i+1 a i de todo i. Las relaciones son, entonces, que E_i F_i = e_i y F_i E_i = e_{i+1}, donde e_j es el j-th simple idempotente. Este obtiene el mismo camino de álgebra con menos flechas y las relaciones, pero que tiene aún menos la simetría de su presentación.

Una primera respuesta a tu pregunta es que esta perspectiva a menudo puede ser útil. La razón por la que digo esto es debido a que esta perspectiva le permite realizar una gran cantidad de otros tiembla como subalgebras de matrices, y viceversa (por ejemplo, la Borel subalgebra como la ruta de álgebra de un subquiver). No es muy útil probar la técnica, pero puede ser una buena manera para producir una gran cantidad de aljabas, especialmente cuando empiece a aprender acerca de ellos.

Es interesante? Esa es otra cuestión completamente. Es lamentable que se selecciona una base en una forma necesaria, y por lo que el GL_n acción en M_n no parece natural. Creo que el hecho de la presentación se menciono anteriormente es parecido a lo que se llama una "doble carcaj' es algo muy interesante. Especialmente si te gusta pensar de una semisimple álgebra de la Mentira como algo parecido a la tangente paquete para el espacio de Borel subalgebras. Precisamente, me refiero a que BB localización se refiere a ciertos módulos de g a D-módulos en el espacio de Borel subalgebras, y eso es interesante para pensar M_n como una deformación de la tangente bundle para U_n, la parte superior triangular de las matrices.

Answer 2

Algo relacionado con esto, usted tiene el más nuevo campo de Leavitt Ruta de Álgebras, que tiene un campo de $K$ y un gráfico dirigido a $E$, genera sus extendido gráfico de $E'$ (añadir a $E$ sus propios bordes invertidos), y, finalmente, se calcula la Leavitt ruta de álgebra de $E$, $L(E)$, como la ruta de álgebra $KE'$ modulo algunas relaciones de llamada (CK1) y (CK2), heredado de la $C*$-álgebras de configuración.

Estas álgebras asociativas nos proporcionan simultáneamente con una puramente algebraica analógico de $C*$-álgebras de gráfica y una generalización de la Leavitt álgebras (álgebras asociativas que no cumplen con las IBN propiedad).

La matriz completa de los anillos de más de $K$ orden $n$ a continuación, se presentan como Leavitt ruta de álgebras de los gráficos con $n$ (consecutivos) vértices y $n-1$ flechas, uno entre cada par de vértices consecutivos.

Otro ejemplo sencillo de Leavitt camino álgebra es el anillo de polinomios de Laurent más $K$, $K[x,x^{-1}]$, que aparece asociado a la gráfica con un vértice y un solo bucle.

La teoría de la Lpa es un hermoso porque nos permite identificar anillo de la teoría de las propiedades de las álgebras asociativas a partir de la gráfica de la teoría de las propiedades de sus asociados gráficos en visual y sencilla.

Algunas referencias:

G. Abrams, G. Aranda Pino. "El Leavitt ruta de álgebra de un gráfico", J. Álgebra 293 (2), 319-334 (2005). (Disponible en http://agt.cie.uma.es/~gonzalo/papers/AA1_Web.pdf).

P. Ara, M. A. Moreno, E. Pardo. "Nonstable K-Teoría gráfico de álgebras", Álgebra Repr. Th. DOI 10.1007/s10468-006-9044-z (electrónica). (Disponible en http://www.springerlink.com/content/pu701474q5300m63/).

G. Abrams, G. Aranda Pino, F. Perera, M. Siles Molina. "La cadena de condiciones para Leavitt ruta de álgebras". (Disponible en http://agt.cie.uma.es/~gonzalo/papers/AAPS1_Web.pdf).

K. R. Goodearl. "Leavitt ruta de álgebras y directa límites", Contemp. De matemáticas. 480 (2009), 165-187.