Puede que sea una pregunta floja, pero es que estoy confundido sobre cuál es la función realmente. Digamos que tenemos $f(x) = x^2$ . Entonces, ¿cuál es la función? $x^2$ ? $f$ ? $f(x)$ ? $f(x) = x^2$ ?
Siempre pensé que $f(x)$ es lo que llamamos función, pero mi libro de texto de cálculo dice cosas como "si existen funciones $f$ donde..."
En mi opinión la función es $$ f. $$
Es el "nombre" de esta "máquina" que actúa sobre los números, le das un número y te devuelve un número (por supuesto, no estás restringido sólo a los números, así que vamos a llamarlo como entrada a partir de ahora y puedes darle más de una entrada, ya que también puede devolverte más de un número que llamamos como salida a partir de ahora).
Pero llamamos a la propia función sólo $f$ . Ahora, sólo llamándolo $f$ no dice mucho sobre lo que $f$ está haciendo. Así que puedes hacer su nombre más informativo como escribirlo como
$$ f(x) $$ lo que significa que $f$ le gustaría recibir $1$ entrada para actuar. Se puede pensar en $f(x)$ como la salida de $f$ . Si $f$ puede tomar más de una entrada, por ejemplo $n$ , por lo que puede escribir $$f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n).$$ Utilizando esta forma de escribir $f$ también nos permite hablar de qué tipo de aportaciones hace $f$ puede manejar, se puede decir que $$x\in\mathbb{N}$$ o $$x_1,x_2,\ldots,x_n\in\mathbb{Q}$$
Todo esto todavía no dice mucho sobre lo que $f$ lo está haciendo, puede comunicárnoslo de la siguiente manera
$$ f(x)= x^2 $$
que nos dice que cualquier $f$ se cuadra. En este punto podemos hacer una forma bastante compacta y ordenada de describir lo que $f$ hace, a saber
$$ f: A\to B, \ f(x)= \text{some expression involving $ x $} $$
que puede leerse como " $f$ toma un elemento del conjunto $A$ y lo sustituye en la expresión dada anteriormente y devuelve un elemento del conjunto $B$ ". De esta manera se puede pensar en $f$ como elementos de enlace entre los dos conjuntos $A$ y $B$ según algunas reglas que harían mi respuesta aún más larga, así que las omitimos.
En definitiva, creo que una función es un concepto matemático abstracto que solemos denominar $f$ ya que puede representar la función.
Una función es un mapeo $f:A\rightarrow B$ que asocia cada elemento del conjunto $A$ con un solo elemento del conjunto $B$ . Así, de manera informal, la función $f$ es la regla que especifica el resultado que se obtiene al aplicar la función a un valor de entrada.
Aunque a menudo llamemos $x^2$ una función, una función está totalmente especificada sólo si los conjuntos $A$ y $B$ también se especifican.
$f(x)$ es el valor de la función $f$ para un valor específico de la variable de entrada $x$ .
Piensa en ello como un coloquialismo.
La función $f$ es en realidad la colección de $\{(x,x^2)|x \in \mathbb R^2\}$ y esa es la referencia adecuada a "la función".
$f(x)$ es ambiguo pero en términos de decir "la función $f(x)$ " Creo que se puede interpretar como "la función $f$ con una indicación de que la "variable libre" (es decir, los primeros términos de los pares ordenados $\{(x,x^2)\}$ se indicará con la variable ' $x$ '". En mi opinión, esto es aceptable. (Su profesor puede no estar de acuerdo).
$f(x) = x^2$ a mi modo de ver es una forma de definir una función. "La función $f(x) = x^2$ " es apenas aceptable (aunque gramaticalmente abusivo) como "la función $f$ que se define como $\{(x, f(x))| x\in \mathbb R; f(x) = x^2\}$ . Pero yo diría que es aceptable. (Su profesor puede estar de nuevo en desacuerdo).
Técnicamente una función es $f \subset A\times B$ entonces para cada elemento $a\in A$ habrá exactamente una $b \in B$ para que $(a,b) \in f$ . Notación como $f:A \to B$ o $f(x) = whatever$ o la referencia a $f(x)$ de $f: a\mapsto b$ son formas de resaltar varios aspectos de eso. Pero la función en sí misma como objeto... que es el conjunto de pares ordenados....
... que para práctico es, ciertamente, una de las formas más difíciles y oscuras de interpretarlo. Pero es la única manera rigurosa y formal de hacerlo.
La gente suele decir "la función $f(x)$ ". Es una mala idea por varias razones, pero un ejemplo ilustra una de las buenas. Dejemos que $U$ denota el conjunto de todas las funciones de los reales a los reales. Voy a definir una función $$ g : \Bbb Z \to U $$ diciendo que $g(n)$ es la función que toma $x$ a $x^n$ . Supongo que incluso podría escribir $$ g(n)(x) = x^n, $$ o, para usar la definición que a algunos les gusta --- "una función es un triple $(D, C, R)$ , donde $R$ es un subconjunto de $D \times C$ tal que ... " --- Podría decir que $$ g(n) = (\Bbb R, \Bbb R, \{(x, x^n) \mid x \in \Bbb R\}). $$
El punto aquí es que para cualquier número $n$ --- decir $n = 2$ el objeto denotado por $g(2)$ es un particular función -- en este caso la "función de cuadratura".
Así que cuando se dice "la función $g(n)$ ", ¿se refiere a la cosa que toma enteros a elemento de $U$ o se refiere a la $n$ ¿función de potencia? Afirmo que es la segunda, y que si quieres referirte a la primera, debes decir "la función $g$ ".
Cuando uno se dedica a la programación informática, y tiene que dar nombres y tipos explícitos a las cosas, este tipo de distinción importa mucho, aunque tengo que decir que muchos de mis colegas son excepcionalmente descuidados en la forma en que describen las funciones (a menos que estén programando realmente, donde el lenguaje de programación puede obligarles a ser precisos).
Si crees que mi ejemplo es artificioso, déjame dar otro. Dejemos que $C$ sea el conjunto de todas las funciones diferenciables en cualquier lugar de los reales a los reales. Entonces puedo definir una función $$ H: C \to U : f \mapsto f' $$ es decir, para cualquier función diferenciable $f$ hay una nueva función $H(f)$ que es la derivada de $f$ . [No es de extrañar, $H(f)$ suele escribirse con alguna notación que implica la letra "d", pero he querido mantenerme al margen de ese atolladero]. La función $H$ surge todo el tiempo .
Y ahora qué quiere decir cuando habla de "la función $H(f)$ ? ¿Te refieres a la derivada de alguna función en particular $f$ o se refiere a la función $H$ ¿en sí mismo? Ambos son objetos de interés, y realmente ayuda tener una manera de referirse a cada uno.
Si te encuentras con alguien que insiste en que la función se llama $f(x)$ en lugar de $f$ Pregúntales si $f(y)$ también es una función, y si es el mismo función. [La mayoría de las personas razonables deberían decir que es una función, y una vez que se admite eso, como que hay que decir que es la misma]. Entonces puedes preguntar si $f(x) - f(y)$ es de hecho cero, porque las dos cosas son "iguales". Llegados a este punto, se enfadarán contigo y te dirán cosas como "¡Ya sabes lo que quiero decir! No te hagas la cabra". Recomiendo alejarse, murmurando en voz baja "f de x menos f de y... debería ser cero... hmmm..."
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Dejaré que otro responda, pero gracias por preguntar esto.
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Todas las notaciones y las expresiones: $x^2$ , $f$ , $f(x)$ , $f(x) = x^2$ representan la misma función.
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$f$ es la función. $f(x)$ denota el valor de $f$ en un punto arbitrario $x$ .