Si el dual de un espacio vectorial topológico separa puntos, ¿separa un punto y un subespacio cerrado?

Question

El de Hahn-Banach Teorema implica que si $X$ es una normativa espacio vectorial, entonces el espacio dual $X^*$, que consiste en lineal continuo funcionales en $X$, tiene las dos propiedades siguientes:

1. $X^*$ separa puntos, es decir, si $x_1,x_2\in X$ con $x_1\neq x_2$, entonces existe un $f\in X^*$ tal que $f(x_1)=0$ e $f(x_2)=1$.

2. $X^*$ separa los puntos de subespacios cerrados, es decir, si $Y$ es un subespacio cerrado de $X$ e $x_0\in X$ con $x_0\not\in Y$, entonces existe un $f\in X^*$ tal que $f(Y)=\{0\}$ e $f(x_0)=1$.

Pero esta respuesta muestra que hay espacios vectoriales topológicos que no satisfacen la propiedad 1. Y la propiedad 2 implica claramente la propiedad 1, de modo que tales espacios satisfacer ni una de las dos propiedades.

Pero mi pregunta es, si un espacio vectorial topológico satisface la propiedad 1, no necesariamente satisfacen la propiedad 2? Para decirlo de otra manera, son la separación de los puntos y la separación de los puntos de subespacios cerrados equivalente?

Si no, ¿alguien sabe de un contraejemplo? Tendría que ser un espacio vectorial topológico que no es normable.

Answer 1

El espacio de Hardy $H^p$ para $0<p<1$ proporciona un contraejemplo.

$H^p$ es cierto cuasi-espacio de Banach de funciones analíticas en la unidad de disco $\{z\in\mathbb C\mid |z|<1\}.$ Para $|z|<1$ la evaluación funcional de la $\delta_z(f)=f(z)$ es continua (por ejemplo, véase p. 39 de la referencia abajo) por lo que el doble continua $(H^p)^*$ separa los puntos. Sin embargo, no es un subespacio cerrado $SH^p\subsetneq H^p$ tal que los no-cero funcional en $(H^p)^*$ aniquila $SH^p.$ Ver Teorema 13 en la página 53 aquí:

Escudos, A. L., Duren, P. L., y Romberg, B. W. "Lineal funcionales en $H^p$ espacios con $0 <p<1$." Journal für die reine und angewandte Mathematik 238 (1969): 32-60.

Que, a continuación, mostrar el resultado más fuerte que el cociente del espacio de $H^p/SH^p$ tiene un trivial doble continua, y la referencia a una anterior resultado relevante de Peck.