Una solución más natural para encontrar los términos generales de una relación de recurrencia en $2$ variables

Question

Un problema matemático de concurso de secundaria en un libro de problemas:

Encuentre las condiciones generales de

$$a_{1}=a,\quad b_{1}=b,\quad a_{ n + 1 }=\frac { 2 a _ { n } b _ { n } } { a _ { n } + b _ { n } },\quad b_{ n + 1 }=\sqrt{ a_{n+1} b _ {n}}$$

El método más sencillo es utilizar las siguientes identidades trigonométricas:

$$2 \tan \frac { \theta } { 2 } = \frac { 2 \tan \theta \sin \theta } { \tan \theta + \sin \theta } , \quad 2 \sin \frac { \theta } { 2 } = \sqrt { 2 \tan \frac { \theta } { 2 } \sin \theta }$$

Hacemos la sustitución

$$a _ { 1 } = a = c \cdot \tan \theta , \quad b _ { 1 } = b = c \cdot \sin \theta$$

Observe que

$$a_{2}=\frac{2a_1b_1}{a_1+b_1}=\frac{2c\tan\theta\sin\theta}{\tan\theta+\sin\theta}=2c\tan\frac{\theta}{2}$$ $$a_{3}=\frac{2a_2b_2}{a_2+b_2}=\frac{2(2c)\tan\frac{\theta}{2}\sin\frac{\theta}{2}}{\tan\frac{\theta}{2}+\sin\frac{\theta}{2}}=2^2c\tan\frac{\theta}{2^2}$$ $$...$$ $$a_n= 2^{n-1} c \tan \frac { \theta } { 2 ^ { n - 1 } }$$

Es posible expresar la fórmula anterior en términos de $a$ y $b$ , sólo hay que fijarse en

$$\theta=\cos^{-1}\left(\frac{b}{a}\right), c=\frac{a}{\tan\theta}$$

De la misma manera,

$$b_n=2 ^ { n - 1 } c\sin \frac { \theta } { 2 ^ { n - 1 } }$$

Aunque considero que la solución anterior es elegante, es poco natural a primera vista, ya que el $2$ Las identidades trigonométricas rara vez se utilizan en la práctica, al menos para los que son mediocres en trigonometría. Así que mi pregunta es:

¿Existe una solución alternativa ( no trigonométrico ) a la relación de recurrencia anterior que es más natural en cierto sentido?

Edición: El método anterior tiene un defecto: los números complejos pueden aparecer para algunos valores reales de $a$ y $b$ en el paso de sustitución.

Answer 1

Hay varios métodos posibles. Un método general que he utilizado para medios compuestos similares es el siguiente. En primer lugar, queremos encontrar una recurrencia para cada secuencia por sí misma. Así, dado $\,a_0 = a, \, b_0 = b, \, b_1 = \sqrt{a_1b_0}\,$ resolvemos para $\,a_1\,$ obteniendo $\,a_1 = b_1^2/b_0.\,$ Asimismo, $\,a_2 = b_2^2/b_1.\,$ Utilizando $\,a_2 = 2a_1b_1/(a_1+b_1)\,$ obtenemos una cuadrática en $b_2$ dado $b_0$ y $b_1$ $$ b_2^2(b_0+b_1)-2 b_1^2 = 0. \tag{1} $$ Ahora necesitamos un Ansatz. Un poco de trabajo numérico sugiere que la convergencia de $b_n$ es lineal. Por lo tanto, supongamos que para algunos $\,0<r<1,\,$ sin pérdida de generalidad, que $\,b_n = f(x r^n)\,$ para $\,n\ge 0\,$ donde $$\,f(x) := 1 + x + c_2 x^2 + c_3 x^3 + c_4 x^4 + O(x^5). \tag{2}$$ Sustituye esto en la ecuación $(1)$ . El lado izquierdo es $\,(r-1)(4r-1)x + O(x^2).\,$ Resolver para $\,r\,$ por la hipótesis, $\,r=1/4.\,$ Resolviendo los otros coeficientes de $\,f(x)\,$ utilizando la ecuación $(1)$ obtenemos $$ f(x) = 1 + x + 3/10 x^2 + 3/70 x^3 + 1/280 x^4 + 3/15400 x^5 + O(x)^6. \tag{3}$$ La búsqueda de los denominadores lleva a Secuencia OEIS A007019

Denominadores de los coeficientes de la serie de Taylor de sinh(sqrt(2*x))/(sqrt(2*x))

Esto nos da la solución $$ f(x) = \sinh(\sqrt{6x})/\sqrt{6x}). \tag{4}$$ La combinación de nuestros resultados nos da $$ b_n = c\sinh(t/2^n)/(t/2^n) \tag{5}$$

Ahora hacemos algo similar para $\,a_n.\,$ Por lo tanto, dado $\,a_1 = 2 a_0 b_0/(a_0+b_0)\,$ resolvemos para $\,b_0\,$ obteniendo $\,b_0 = a_0 a_1/(2a_0 - a_1).\,$ De la misma manera, $\,b_1 = a_1 a_2/(2a_1 - a_2)\,$ pero como $\,b_1^2 = a_1 b_0\,$ finalmente conseguimos $$ a_0(a_2^2 -4a_1a_2-4a_1^2)-a_1a_2^2 = 0. \tag{6}$$ Se trata de una cuadrática en $a_2$ dado $a_0$ y $a_1$ .

Un poco de trabajo numérico sugiere que la convergencia de $a_n$ es lineal. Por lo tanto, supongamos que para algunos $\,0<r<1,\,$ sin pérdida de generalidad, que $\,a_n = f(x r^n)\,$ para $\,n\ge 0\,$ donde $$\,f(x) := 1 + x + c_2 x^2 + c_3 x^3 + c_4 x^4 + O(x^5). \tag{7}$$ Sustituye esto en la ecuación $(6)$ . El lado izquierdo es $\, -(1-r)(1-4r)x + O(x^2).\,$ Resolver para $\,r\,$ por la hipótesis, $\,r=1/4.\,$ Resolviendo los otros coeficientes de $\,f(x)\,$ utilizando la ecuación $(1)$ obtenemos $$ f(x) = 1 + x + 6/5 x^2 + 51/35 x^3 + 62/35 x^4 + O(x^5).\tag{8}$$ Los numeradores son todos divisibles por $3$ por lo que esto sugiere buscar en $$ f(x/3) = 1 + 1/3 x + 2/15 x^2 + 17/315 x^3 + O(x^4). \tag{9}$$ Una búsqueda de los numeradores conduce a OEIS squence A002430

Numeradores en las series de Taylor para tan(x). También de la serie de Taylor para tanh(x).

que da $$ f(x/3) = \tanh(\sqrt{x})/\sqrt{x}. \tag{10}$$ La combinación de nuestros resultados nos da $$ a_n = c\tanh(t/2^n)/(t/2^n). \tag{11}$$

En resumen, ambos $\,c := \lim a_n = \lim b_n\,$ como $\,n\to\infty\,$ y $\,t\,$ dependen de los valores iniciales $\,a,b.\,$ Dejemos que $\,d := \sqrt{b^2-a^2},\,$ y $\, t := \log((b+d)/a). \,$ Entonces $\, c = t\ a\ b/d.\,$

Tenga en cuenta que si $\,0<a<b\,$ entonces $\,t>0\,$ es real mientras que si $\,0<b<a\,$ entonces $\,t\,$ es puramente imaginario. Aquí hay ejemplos numéricos para ambos casos:

c=1.520691, d=1.732050, t=1.316957
 n    a_n       b_n       a_n/c    b_n/c    (t/2^n)^2
 0  1.000000  2.000000  0.657595  1.315191  1.734378
 1  1.333333  1.632993  0.876793  1.073849  0.433594
 2  1.468027  1.548315  0.965368  1.018165  0.108398
 3  1.507103  1.527570  0.991063  1.004523  0.027099
..  ........  ........  ........  ........  ........
10  1.520691  1.520692  0.999999  1.000000  0.000001

c=1.209199, d=-1.732050, t=1.047197 i
 n    a_n       b_n       a_n/c    b_n/c    (t/2^n)^2
 0  2.000000  1.000000  1.653987  0.826993  -1.096623
 1  1.333333  1.154701  1.102658  0.954929  -0.274155
 2  1.237604  1.195434  1.023459  0.988615  -0.068538
 3  1.216154  1.205759  1.005751  0.997146  -0.017134
..  ........  ........  ........  ........  .........
10  1.209200  1.209199  1.000000  0.999999  -0.000001

Answer 2

El enfoque es agradable.

Tenga en cuenta que $$\cot\left(\arccos\dfrac ba\right) = \frac b{\sqrt{a^2-b^2}}$$ (véase también Wolfram Alpha ).

Si $\underline{\frac ba >1},$ entonces se pueden utilizar las funciones hiperbólicas en lugar de las trigonométricas, porque $$2 \tanh \frac { \theta } { 2 } = \frac { 2 \tanh \theta \sinh \theta } { \tanh \theta + \sinh \theta }$$ (véase también Wolfram Alpha ), $$ \quad 2 \sinh \frac { \theta } { 2 } = \sqrt { 2 \tanh \frac { \theta } { 2 } \sinh \theta }$$ (véase también Wolfram Alpha) ), donde $$\theta = \cosh^{-1}\frac ba = \log\left(\frac ba - \sqrt{\frac{b^2}{a^2}-1}\right),$$ $$c= a\coth\theta = -\dfrac{ab}{\sqrt{b^2-a^2}}$$ (véase también Wolfram Alpha)) )

Si $\underline{b=a},$ entonces $a_n=b_n=a.$

Además, las sustituciones $$u_n = \frac1{a_n},\quad v_n = \frac1{v_n}$$ conducen a la relación de recurrencia $$u_{n+1} = \frac{u_n+v_n}2,\quad v_{n+1}=\sqrt{u_{n+1}v_n}.$$

Answer 3

Una solución algorítmica sería una "solución natural" en el sentido de que el algoritmo realiza los cálculos especificados por las relaciones de recurrencia. Para un ejemplo de un modelo no recursivo para el cómputo, por favor revise lo siguiente:

" Cómo calcular el término N de una relación recursiva utilizando una función no recursiva - Respuesta a una pregunta en Mathematics Stack Exchange "