Demuestra que un grupo cíclico con un solo generador puede tener como máximo 2 elementos

Question

Demostrar que un grupo cíclico que tiene un solo generador tiene a lo sumo $2$ elementos.

Quiero saber si mi prueba sería válida:

Supongamos que $G$ es un grupo cíclico y $g$ es su único generador. Sea $|G|=n$ donde $n>2$ entonces sabemos que $\gcd(n,n-1)=1$ . Esto implica que $g^{n-1}$ es un generador de $G$ . Tenemos una contradicción, ya que $g$ es el único generador de $G$ (y $n > 2$ lleva a $n-1 \neq 1$ ). Así, $|G|\leq 2$ .

He intentado utilizar el hecho de que los elementos generadores de un grupo son coprimos al orden del grupo, gracias.

Answer 1

Tal vez sea más fácil: si $g$ genera $G$ entonces también lo hace $g^{-1}$ . La hipótesis implica entonces que $g=g^{-1}$ Así que $g^2=1$ . Hecho (ya sea $g=1$ o no, en cuyo caso, respectivamente, el orden de $G$ es $1$ o $2$ ).

Answer 2

Su prueba es correcta si $G$ es finito es decir $G\cong\mathbb{Z}_m$ para algunos $m\ge 1$ . Sólo hay que tener en cuenta que puede ocurrir que $G\cong\mathbb{Z}$ Sin embargo, en este caso $g$ y $g^{-1}$ son distinto generadores y con esto concluye la prueba.

Answer 3

Esta es otra opinión.

El número de generadores es $\phi(n)$ , donde $\phi$ es la función de Euler.

Ahora, o bien $n$ tiene un factor primo $p\ge 3$ o $n$ es una potencia de $2$ .

En el primer caso, tenemos $\phi(n) \ge \phi(p)=p-1\ge2$ .

En el segundo caso, si $n\ge 3$ entonces $4$ divide $n$ y así $\phi(n) \ge \phi(4)=2$ .

El resultado final, $\phi(n)=1$ implica $n$ es una potencia de $2$ menos de $4$ Es decir, $n=1$ o $n=2$ .

(El hecho clave es: si $d$ divide $n$ entonces $\phi(n) \ge \phi(d)$ .)