Demostrar que un grupo cíclico con solo un generador puede tener como máximo 2 elementos

Question

Demuestra que un grupo cíclico que tiene solo un generador tiene a lo sumo $2$ elementos.

Quiero saber si mi demostración sería válida:

Supongamos que $G$ es un grupo cíclico y $g$ es su único generador. Sea $|G|=n$ donde $n>2$, entonces sabemos que $\gcd(n,n-1)=1$. Esto implica que $g^{n-1}$ es un generador de $G$. Tenemos una contradicción, ya que $g$ es el único generador de $G$ (y $n > 2$ lleva a $n-1 \neq 1$). Así que $|G|\leq 2$.

Intenté usar el hecho de que los elementos generadores de un grupo son coprimos al orden del grupo, gracias.

Answer 1

Quizás más fácil: si $g$ genera $G$, entonces también lo hace $g^{-1}$. La hipótesis implica entonces que $g=g^{-1}$, por lo tanto $g^2=1$. Hecho (o bien $g=1$ o no, en cuyo caso respectivamente el orden de $G$ es $1$ o $2$).

Answer 2

Su prueba es correcta si $G$ es finito, es decir, $G\cong\mathbb{Z}_m$ para algún $m\ge 1$. Solo observe que puede suceder que $G\cong\mathbb{Z}$; sin embargo, en este caso $g$ y $g^{-1}$ son generadores distintos y esto concluye la prueba.

Answer 3

Aquí tenemos otra versión.

El número de generadores es $\phi(n)$, donde $\phi$ es la función de Euler.

Ahora, o bien $n$ tiene un factor primo $p\ge 3$ o $n$ es una potencia de $2$.

En el primer caso, tenemos $\phi(n) \ge \phi(p)=p-1\ge2$.

En el segundo caso, si $n\ge 3$, entonces $4$ divide a $n$ y por lo tanto $\phi(n) \ge \phi(4)=2$.

En resumen, $\phi(n)=1$ implica que $n$ es una potencia de $2$ menor que $4$, es decir, $n=1$ o $n=2$.

(El hecho clave es: si $d$ divide a $n$, entonces $\phi(n) \ge \phi(d)$.)