Tablas de grupo visualizadas para $\mathbb{Z}$ y $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$

Question

Permítanme compartir una especie de visualización de tablas de grupo que es especialmente adecuado para grupos cíclicos como $\mathbb{Z}$ y $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ . En estos grupos puedes dar fácilmente colores a cada miembro del grupo $k$ con

• matiz \= rojo si $k > 0$ (para $\mathbb{Z}$ ) o $k \leq n/2$ (para $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ )

• matiz = azul en caso contrario

• ligereza \= pasa de 0 a 1 para $|k|\rightarrow \infty$ (para $\mathbb{Z}$ ) o para $k \rightarrow n/2$ (para $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ )

Así que $k=0$ siempre se ve negro mientras que $k = \infty$ resp. $k=n/2$ parece blanco.

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Mi pregunta es:

¿Qué hechos específicos de la teoría de los números o de los grupos o de los anillos se pueden aprender al mirar estas tablas de grupos?

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No es de extrañar que todas las tablas de grupos de adición para $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ son esencialmente iguales, independientemente de la naturaleza de $n$ (sea de primera o de segunda):

Pero también las tablas de grupos de multiplicación presentan patrones bastante regulares. Pero esta vez hay al menos dos: las que tienen un distinguido patrón blanco/negro en el centro y las que tienen un distinguido patrón rojo/azul:

Una mirada más cercana a lo consecutivo $n$ revela otro detalle: los patrones blanco/negro y rojo/azul en el centro cambian cada dos pasos:

Hasta ahora, todo va bien. Lo que sigue siendo interesante es el "patrón límite" que se aborda para $n \rightarrow \infty$ . Es algo así (para $n=64,128,256, 251$ ):

Como se puede adivinar, no hay un patrón de límite único, sino sólo un amable del patrón cuyos detalles dependen de $n$ (principalmente su tamaño), especialmente la distinción y el tamaño de los "subcentros" (junto al "centro principal" en $(\frac{n}{2},\frac{n}{2})$ ), por ejemplo, de los cuatro subcentros en los casos anteriores que puede ver inmediatamente (cerca de los centros de los cuatro cuadrantes).

Obsérvese de nuevo que la existencia y la visibilidad de estos subcentros son independientes de la naturaleza de $n$ - sólo comparar $n=256$ (una potencia de 2) y $n = 251$ (un número primo).

Aquí está la tabla de grupos de multiplicación para $n=512$ :

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A modo de comparación, aquí están las tablas de grupos de suma y multiplicación para $\mathbb{Z}$ mismo (para $|k| < K$ , $K = 10,100$ :

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Para repetir mi pregunta:

¿Qué hechos específicos de la teoría de los números o de los grupos o de los anillos se pueden aprender al mirar estas tablas de grupos?

Para hacer una pregunta concreta:

¿Cómo se pueden explicar las hipérbolas que se observan en el centro de cada parcela, ya sea para $\mathbb{Z}$ o $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ ?

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Por otro motivo de comparación: Vea aquí algunas tablas de grupos con rojo = azul:

Answer 1

Resulta que los patrones se pueden ver más claramente cuando se elige otra combinación de colores: para $k = \lfloor n/4 \rfloor$ elija el rojo, para $k = \lfloor 3n/4 \rfloor$ elegir el azul, para los otros valores un tono de gris que indica la distancia a $n/2$ . Para $n=128$ :

Se observa que el gran cuadrado se divide sucesivamente en cuadrados de longitud lateral $n/k$ .

Además, se puede observar que, por ejemplo, los puntos rojos de la parte superior izquierda se encuentran realmente en una hipérbola. Están situados en las celdas de la cuadrícula $(32,1), (16,2), (8,4), (4,8), (2,16), (1,32)$ cumpliendo así con $j = 32/i$ .

Para $n=257$ es decir, un número primo, los patrones de rejilla desaparecen, pero la estructura hiperbólica permanece intacta:

Answer 2

En cuanto a la última, es decir, la segunda pregunta que se refiere a ((sub)centros de) hiperbolas :

Para $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ los centros visibles de las hipérbolas se sitúan en puntos $ \frac{n}{k}(i,j)$ para $k < \log_2 n$ y $0 \leq i,j \leq k$ .

(Nótese la estructura modular/toroidal del gráfico).

El "tamaño" de la hipérbola se reduce con $1/k$ su "distinción" es máxima a lo largo de las diagonales.

Answer 3

Una forma aún mejor de trazar la tabla de grupos de $\mathbb{Z}_n = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ - y mejor comparado con el $\mathbb{Z}$ caso - es poniendo $(0,0)$ hacia el centro (en lugar de hacia la parte superior izquierda). Este es el aspecto de las tablas para $n=32,64,128$ y para $\mathbb{Z}$ :

Otra "ventaja" es que siempre se tiene una "cruz negra" por el origen $(0,0)$ - independientemente de $n$ especialmente de la primacía de $n$ . Por ejemplo, para $n=127$ que es un número primo (comparado con $n = 128 = 2^7$ ):