¿Es suma de cuña para los complejos CW finitos cancellative en la categoría de homotopía?

Question

Deje $X,Y,Z$ ser finito, señaló CW complejos. Es posible que $X\vee Z$ $Y\vee Z$ son homotopy equivalente, sino $X$ $Y$ no?

Observación 1: Sin la finitud de la asunción en $Z$, hay ejemplos como tonto $X=pt$ , $Y$ algunos no contráctiles complejo y $Z$ una cuña de infinidad de copias de $Y$. Si sólo suponemos $Z$ es finito, todavía no es trivial para mí, pero menos interesante.

Observación 2: (Edit: hay un error en la cita aquí. En realidad debemos $G$ $H$ a un ser finito). Por Van Kampen, tenemos $\pi_1(X\vee Z)\simeq \pi_1(X)*\pi_1(Z)$ donde $*$ denota la libre suma de los grupos. Como lo demuestran (muy elegante) aquí, para finitely grupos generados es cierto que $G*K\simeq H*K$ implica $G\simeq H$. Por lo tanto, uno no puede usar $\pi_1$ a distinguir entre el $X$ $Y$ en este caso.

Comentario 3: Uno puede excluir tonto ejemplos por la imposición de otras finitness condiciones en $X,Y$$Z$. Por ejemplo, que son $\pi$-finito (tiene un número finito de no trivial homotopy grupos todos de los cuales son finitos).

Habiendo dicho eso, estoy interesada sobre todo en el caso de que $Z=S^2$, pero todo tipo de ejemplos y/o observaciones sobre el problema son bienvenidos.

Answer 1

No es una solución, pero una observación en el caso de que $Z=S^2$.

Suponga que $X,Y$ CW complejos y que $X \vee S^2 \simeq Y \vee S^2 $. Así que hay una homotopy equivalencia $f \colon X \vee S^2 \to Y \vee S^2$. Este mapa induce un mapa de $\hat{f} \colon X\to Y $ el cual es dado por $p \circ f \circ i$ donde $i$ es la inclusión de $X\subset X\vee S^2$ $p$ es el mapa colapso $S^2\subset Y\vee S^2$.

Más $f$ da un isomorfismo $$ \tilde{H}_*(X ) \oplus \tilde{H}_*(S^2) \cong \tilde{H}_*(X \vee S^2) \cong \tilde{H}_*(Y \vee S^2) \cong \tilde{H}(Y) \oplus \tilde{H}_*(S^2) .$$

Esto muestra que, en grados no es igual a $2$, la inducida por el mapa de $\hat{f}$ es un isomorfismo.

Si además de la $H_2(X)$ es finito, entonces $\hat{f}$ es una homología de isomorfismo.

Ahora bien, si asumimos que $X$ $Y$ son simples, entonces el dual whitehead teoremas nos dicen que $\hat{f}$ es un homotopy de equivalencia.