Como encontrar $\lim\limits_{n\to \infty }(1 + \frac{1}{n})^n$

Question

$\lim _{n\to \infty }\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$

¿Cómo empiezo con éste? La sustitución de variables sería de una manera, pero nuestro profesor no lo ha cubierto todavía, por lo que debería haber alguna otra manera.

Por lo general, con este tipo de límites modificamos la función para que se parezca a uno de los límites estándar que podemos usar sin probarlos.

Answer 1

Solo necesitamos el hecho de que$f(x)=e^x - 1- x >0, x\neq 0$

En primer lugar,$e^{1/n} > 1 + \frac{1}{n}$, es decir,$$(1+\frac{1}{n})^n < e$ $

En segundo lugar$e^{-\dfrac{1}{n+1}} > 1 - \frac{1}{n+1}$, es decir

PS

por lo tanto$$\dfrac{1}{e^{\dfrac{1}{n+1}}} > 1 - \dfrac{1}{n+1}$ $

entonces$$e^{\dfrac{1}{n+1}} < \dfrac{1}{1 - \dfrac{1}{n+1}} = \dfrac{n+1}{n} = 1 + \dfrac{1}{n}$ $

En resumen$$ (1 + \frac{1}{n})^n > e^{\dfrac{n}{n+1}}$ $

El envío de$$ e^{\dfrac{n}{n+1}}< (1+\frac{1}{n})^n < e$ a infinito da como resultado que el límite es igual a$n$

Answer 2

Conozco una manera de hacer esto con el uso del teorema binomial. Tienes

PS

PS

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Ahora que$$\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n=\binom{n}{0}+\binom{n}{1}\frac{1}{n}+\binom{n}{2}\frac{1}{n^2}+\binom{n}{3}\frac{1}{n^3}+....$ va hacia el infinito, algunos términos en los numeradores desaparecen y lo que queda es esto:

$$=1+1+\frac{n(n-1)}{2!\cdot n^2}+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!\cdot n^3}+...$ $ Que sabemos que es$$=1+1+\frac{1-\frac{1}{n}}{2!}+\frac{1-\frac{3}{n}+\frac{2}{n^2}}{3!}+...$.

Answer 3

Depende de cómo se defina $e$. Muchos textos de hecho definen $\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^{n}$ $e,$ pero para hacer eso, lo habitual es que para probar que la sucesión es creciente, y está delimitado por encima. Cualquier aumento de la secuencia de los números reales, que está delimitada por encima tiende a lo menos su límite superior. Una vez que se estableció que el límite existe, es razonable darle un nombre, y algunos textos de elegir definirse $e$ de que manera.

Si usted ya conoce la serie de Taylor de la definición de $e$ o $e^{x}$ entonces es fácil comprobar que $(1 + \frac{1}{n})^{n} = 1 + \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k!}\prod_{j=1}^{k-1}(1- \frac{j}{n})$ que siempre es menos de $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}.$ Demostrando la desigualdad al revés (en el límite) es más difícil.

Si el $\log$ función se utiliza para definir $e$ través $\log(x) = \int_{1}^{x} \frac{1}{t} dt$ y $\log (e) = 1,$, luego tenemos a$ n \log(1 + \frac{1}{n}) < n.\frac{1}{n} =1,$, de modo que $(1+\frac{1}{n})^{n} < e$ todos los $n.$ Por otro lado, $\log(1 + \frac{1}{n}) > \frac{1}{n} - \frac{1}{2n^{2}},$ $n \log(1 + \frac{1}{n}) > 1 - \frac{1}{2n}$ e lo $n \log(1 + \frac{1}{n}) \to 1$$n \to \infty$.

Answer 4

se sabe que el límite existe y es$e$. Aquí hay una manera de mostrar que el límite existe y está entre$2$ y$3.$. Usaremos los hechos$(1 + \frac{1}{n})^n$ es una secuencia creciente y está delimitado arriba por$3.$ con eso. Se establecerá el cliam.

que$a_n=(1 + \frac{1}{n})^n$ sigue aumentando desde$\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \left(\dfrac{n+2}{n+1}\right)\left( \dfrac{n^2 + 2n}{n^2 + n}\right)^n > 1$ para todos$n \ge 1.$ y la bifurcación sigue desde $ \begin{align}(1 + \frac{1}{n})^n &= 1 + 1 + \dfrac{(1-1/n)}{2} + \dfrac{(1-1/n)(1-2/n)}{2*3} + \dfrac{(1-1/n)(1-2/n)(1-3/n)}{2*3*4}+ \cdots\\ & \le 1 + 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2*3} + \dfrac{1}{2*3*4} + \cdots\\ & < 1 + 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2*2} + \dfrac{1}{2*2*2} + \cdots = 3\\ \end {align} $