Notación de variables aleatorias

Question

Estoy realmente confundido acerca de la capitalización de nombres de variables en las estadísticas. ¿Cuándo se debe presentar una variable aleatoria con letras mayúsculas y en minúsculas?

Para una probabilidad$P(X \leq x)$, ¿qué significan aquí$x$ y$X$?

Answer 1

Usted necesita para disociar $x$ $X$ en su mente-a veces los asuntos que son "la misma carta:" pero en general este no es el caso. Son dos personajes diferentes y significan dos cosas diferentes, y sólo porque tienen el mismo nombre cuando se lee en voz alta no significa nada.

Por convención, una gran cantidad del tiempo que nos dan nombres de variables aleatorias que son letras mayúsculas de todo el final del alfabeto. Que no tiene que ser el caso-es arbitrario, sino que es una convención. Tan sólo como un ejemplo aquí, vamos a dejar que $X$ ser la variable aleatoria que representa el resultado de una única tirada de un dado, de modo que $X$ toma en valores en $\{1,2,3,4,5,6\}$. Ahora creo que entiendo lo que sería significa algo como $P(X\leq 2)$: es la probabilidad de que el dado sale un 1 o un 2. Del mismo modo, podemos evaluar los números para $P(X\leq 4)$, $P(X\leq 6)$, $P(X\leq \pi)$, $P(X\leq 10000)$, $P(X\leq -230)$ o $P(X\leq \text{any real number that you can think of})$. Otra forma de decir esto es que el $P(X\leq\text{[blank]})$ es una función de una variable real: podemos poner cualquier número en [en blanco] que queremos y nos encontramos con un número único. Muy común en símbolo para denotar una variable real es de $x$, así que podemos escribir la función como se $P(X\leq x)$. En esta expresión, $X$ es fijo, y $x$ es permitido variar a lo largo de todos los números reales.

No es super importante que $x$ $X$ son de la misma carta aquí. Podemos escribir de manera similar $P(y\leq X)$ y esta sería la misma función. Donde realmente comienza a venir muy bien que $x$ $X$ son de la misma carta, es cuando se trata de lidiar con cosas como distribuciones conjuntas donde usted tiene más de una variable aleatoria, y usted está interesado en la probabilidad de que por ejemplo, $P(X\leq \text{[some number] and } Y\leq\text{[some other number]})$ que puede ser escrito de forma más concisa como $P(X\leq x,Y\leq y)$. Entonces, para explicar el hecho de que es difícil seguir la pista de una gran cantidad de símbolos al mismo tiempo, es conveniente que el $x$ corresponde a $X$ en una manera obvia.

Por el camino, para una variable aleatoria $X$, la función de $P(X\leq x)$ una función muy importante. Se llama la función de distribución acumulativa y es usualmente denotado por $F_X$, por lo que el $$F_X(x)=P(X\leq x)$$

Answer 2

Cuando se escribe$P(X\leqslant x)$, generalmente significa que$X:\Omega\to\mathbb R$ es una variable aleatoria y$x$ un número real, de modo que$P(X\leqslant x)=P(A)$ donde $$ A = \ {X \ leqslant x \} = \ {\ omega \ in \ Omega \ mid X (\ omega) \ leqslant x \} = X ^ {- 1} ((- \ infty, x]). $$

Answer 3

$P(X\leq x)$ significa la probabilidad de que la variable aleatoria$X$ sea menor o igual que la realización$x$. La minúscula$x$ es una constante fija, mientras que$X$ es una variable aleatoria.