¿Estoy lejos de esta prueba de continuidad de$f(x)=\frac{x+|x|}{2}$?

Question

Se nos pide determinar dónde se $f(x)=\frac{x+|x|}{2}$ es continua y de probar. Claramente, es continua en a $\mathbb{R}$.

La respuesta que yo era capaz de encontrar involucrados división en tres intervalos de $(x<0, x = 0, x>0)$. Intuitivamente, que es como he decidido que es continua en a $\mathbb{R}$, pero a mí me parece una simplificación de la $\epsilon-\delta$ prueba es como sigue:

1. Una función de $f$ es continua si $|x-a| < \delta$$|f(x)-f(a)| < \epsilon$.

2. Alternativamente expresar el anterior como $|f(x)-f(a)| < \epsilon$ si $|x-a| < \delta$

3. Supongamos $|x-a| < \delta$. Entonces: $$|f(x)- f(a)| = \left|\frac{x+|x|}{2} - \frac{a+|a|}{2}\right| < \epsilon$$ reorganizar, y el uso del triángulo de la desigualdad: $$|x+|x|-(a-|a|)| = \left|x-a-(|x|-|a|)\right|\leqslant |x-a| + ||x|-|a|| <2\epsilon$$

Utilizando la definición anterior de $\delta$ y el segundo triángulo de la desigualdad $$|x-a| + ||x|-|a|| < |\delta| + \left||x|-|a|\right| \leqslant |\delta| + |x-a| \leqslant |\delta| +|\delta| =2\delta <2\epsilon$$

Por lo tanto, si $|x-a|<\delta, |f(x)-f(a)| < \epsilon$, e $\epsilon>\delta$, por lo que podemos elegir el $x$ "lo suficientemente cerca" (es decir, dentro de $\delta$ de la a) por lo que la función es continua

Quiero saber si eso es totalmente incorrecto, por lo que no me está tratando de demostrar cosas en una manera similar a averiguar, me estoy perdiendo el punto.

Answer 1

Sí,$f$ es continuo porque $$ | f (x) - f (a) | = \ left | \ frac {x + | x |} {2} - \ frac {a + | a |} {2} \ right | \ leq \ frac {| xa |} {2} + \ frac {|| x | - | a ||} {2} \ leq | xa |. $$ Entonces, dado$\epsilon>0$, toma$0<\delta\leq \epsilon$ y para$|x-a|<\delta$, tienes ese$|f(x)-f(a)|<\epsilon$.

La misma conclusión se puede encontrar al observar que $$ \ frac {x + | x |} {2} = \begin{cases} x&\text{if %#%#%,}\\ 0&\text{if %#%#%.} \end {cases} $$

Answer 2

¿Por qué no con secuencias? Deje que$a \in \mathbb R$ y que$(a_n)$ sea una secuencia con$a_n \to a$. Entonces$|a_n| \to |a|$, por lo tanto

$f(a_n)=\frac{a_n+|a_n|}{2} \to \frac{a+|a|}{2}=f(a)$.

Answer 3

Estás trabajando duro. Si su función es solo$f(x) =x$ si$x$ no es negativo, y$f(x)= 0$ si$x$ no es positivo. ambas fórmulas dan$f(0) =0$ Seguramente usted puede mostrar que$f$ es continuo en los aspectos no positivos y no negativos, por lo tanto, en$\mathbb R$.

Answer 4

Técnicamente, la forma más fácil (la forma que usé en mi cabeza al leer su pregunta) es usar el hecho de que las sumas (finitas) y las composiciones de funciones continuas siguen siendo continuas. Ahora la función de identidad es claramente continua, y la función absoluta también lo es, y la división por dos también lo es, ¡así se hace! Por lo tanto, la única parte "no trivial" está demostrando que la función absoluta es continua.