Integración de $\sqrt{x+\sqrt{x^2+3x}}$

Question

Me encontré con el siguiente problema de integración indefinida: $$\int \sqrt{x+\sqrt{x^2+3x}}dx$$

Este resultado de WolframAlpha sugiere que hay una forma elemental de calcular esta integración. Pero no sé cómo empezar. Se agradecería cualquier pista.

Answer 1

Fijamos $$t=\sqrt{x+\sqrt{x^2+3x}}$$ entonces, elevando al cuadrado, obtenemos $$t^2-x=\sqrt{x^2+3x}$$ elevando de nuevo al cuadrado, obtenemos $$t^4-2t^2x=3x$$ así $$x=\frac{t^4}{3+2t^2}$$ y $$dx=4\,{\frac {{t}^{3} \left( {t}^{2}+3 \right) }{ \left( 2\,{t}^{2}+3 \right) ^{2}}} dt$$ para la integración utilizan que el integrando puede escribirse como $${t}^{2}-{\frac {9}{4\,{t}^{2}+6}}+{\frac {27}{2\, \left( 2\,{t} ^{2}+3 \right) ^{2}}} $$

Answer 2

Ver la otra respuesta. Para encontrar $\int \frac{27}{2(2t^2+3)^2}\, dt$ se puede evitar el uso de números no reales (observe que $2t^2+3=at^2+bt+c$ , donde $b^2-4ac<0$ no tiene raíces reales ni una factorización no trivial sobre los números reales. No podemos usar fracciones parciales con números reales).

Ver este enlace (link) ( Wikipedia (enlace) también tiene algunas fórmulas), que muestra las fórmulas de integración sobre los números reales de $\int \frac{1}{(x^2+bx+c)^n}\, dx$ , $\int \frac{x}{(x^2+bx+c)^n}\, dx$ y ver los ejemplos allí, en particular el ejemplo $\int \frac{1}{(x^2+1)^2}\, dx$ . Se generaliza. Obsérvese que

$$\left(\frac{1}{\left(x^2+bx+c\right)^n}\right)'=\frac{-(2x+b)n}{\left(x^2+bx+c\right)^{n+1}}$$

$$\left(\frac{x}{\left(x^2+bx+c\right)^n}\right)'=\frac{x^2+bx+c-nx(2x+b)}{\left(x^2+bx+c\right)^{n+1}}$$

Utilizar la integración por partes, fracciones parciales. $$\int \frac{1}{2t^2+3}\, dt$$

$$\int u\, dv=uv-\int v\, du$$

$$u=\frac{1}{2t^2+3}$$

$$du=\frac{-4t}{(2t^2+3)^2}\, dt$$

$$dv=dt, v=t$$

$$\int \frac{1}{2t^2+3}\, dt=\frac{t}{2t^2+3}-$$

$$-\int \frac{-4t^2}{(2t^2+3)^2}\, dt$$

Utiliza fracciones parciales. Puedes utilizar WolframAlpha (enlace) si quieres, pero no es necesario.

$$\frac{-4t^2}{(2t^2+3)^2}=\frac{6}{(2t^2+3)^2}-\frac{2}{2t^2+3}$$

Ahora encuentra $\int \frac{1}{(2t^2+3)^2}\, dt$ en términos de $$\int\frac{1}{2t^2+3}\, dt=\frac{1}{3}\sqrt{\frac{3}{2}}\int\frac{d\left(\sqrt{\frac{2}{3}}t\right)}{\left(\sqrt{\frac{2}{3}}t\right)^2+1}=$$

$$=\frac{1}{\sqrt{6}}\arctan\left(\sqrt{\frac{2}{3}}t\right)+C$$