Extensión integral del anillo, ideales máximos.

Question

Deje $\varphi:A\rightarrow A'$ ser un integrante del anillo de la extensión.

1) Mostrar que para cada ideal maximal $m'\subset A'$ el ideal $\varphi^{-1}(m')\subset A$ es máxima.

2) y que para cada ideal maximal $m\subset A$ no es un ideal maximal $m'\subset A'$$\varphi^{-1}(m')=m$.

Ahora hay un tip: para $m\subset A$ ver el $S=A-m$ y la localización de la $S^{-1}A$$S^{-1}A'$. Ahora no me llega más allá con este truco! Por favor, ayúdame!

1) Lo que hice: $\varphi^{-1}(m')$ es un alojamiento ideal ($m'$ sería uno en $A'$, así también no máxima). Ahora puedo definir el mapa de $\psi:A/\varphi^{-1}(m')\rightarrow A'/m',a+\varphi^{-1}(m')\mapsto a+m$. Ahora $\psi$ está bien definida, como si $a-b\in \varphi^{-1}(m')$$\psi(a-b)=0\iff\psi(a)=\psi(b)$. Así que ahora si $x\in A'$ hay $a_i\in A$ s.t. $x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n=0$. Pero esta es la inducción de la $(x+m)^n+(a_1+m)(x+m)^{n-1}+...+(a_n+m)=m$, lo $\psi$ es una parte integral del anillo de la extensión de la integral de dominios (como $\varphi^{-1}(m')$ es primo) con $A'/m'$ un campo, por lo que, a continuación, $A/\varphi^{-1}(m')$ es también un campo y por lo tanto $\varphi^{-1}(m')$ es máxima en $A$.

2) yo no uso que la extensión es integral, por lo que no estoy seguro de si es correcto en absoluto: $m\subset A\Rightarrow \exists m'\subset A'$ s.t. $m\subset m'$. Ahora $\varphi^{-1}(m')=m$, porque si $x\in\varphi^{-1}(m')-m$ $\varphi^{-1}(m')$ es todavía un ideal, que no contengan $1$ $m'$ es máxima, por lo que su adecuada ideal que contiene a$m$$A$. Así que ahora aquí el único detalle que me falta es en este paso: $\exists m'\subset A'$ s.t. $m\subset m'$. Pero me di cuenta que puedo mirar el ideal $(m)$$A'$, que es el ideal generado por cada elemento de a $m$, por lo que entonces existe un ideal maximal que contiene el ideal $(m)$ adecuadamente, lo cual no es posible. Ahora que sólo tendría que demostrar que $(m)$ es un buen ideal, pero no estoy seguro de cómo, si su verdadera en todos en general, pero supongo que debe ser...

Así que ahora mi pregunta es

a) ¿cómo puedo utilizar la punta?

b) ¿puedo cometer errores o no mostrar algo importante?

Answer 1

Pista: (1). Muestre que si$\phi: A \to B$ es una extensión integral, entonces para cualquier conjunto cerrado multiplicativo$S \subset A, S^{-1}A \to S^{-1}B$ es una extensión integral.

(2). Tome$S:= A - \mathfrak m.$ Deje que$\alpha: A \to S^{-1}A, \beta: B \to S^{-1}B, \gamma:S^{-1}A \to S^{-1}B $ sean mapas naturales. Entonces$\beta \phi = \gamma \alpha.$ Sea$\eta$ un ideal máximo de$S^{-1}B.$ Demuestre que$\mathfrak m = \phi^{-1}\beta^{-1}(\eta).$ Aquí$\beta^{-1}(\eta)$ es un ideal primordial en$B.$

Answer 2

La primera parte se ve bien, el modulo este hecho acerca de la integral de las extensiones de dominios de. Supongo que esto es algo que usted puede usar. Para la segunda parte, definitivamente, necesitamos utilizar la integral de la hipótesis debido a que $\mathfrak{m}A' \neq A'$ no tiene por qué ser cierto lo contrario: $\mathbf{Z} \subset \mathbf{Q}$ probablemente se obtiene el ejemplo más sencillo.

La condición de $\mathfrak{m}A' \neq A'$ debería recordarle de Nakayama del lema; es por eso que nos encargamos de localizar a $\mathfrak{m}$ y a partir de ahora suponga que $A$ es local. Hay algunos trabajos escondía aquí: Después de la localización, ¿por qué todavía tengo una integral extensión? ¿Cómo hace uno para transportar el resultado para la extensión de la espalda al problema original? Habiendo justificado, nos gustaría hacer si supiéramos que $A'$ fueron una finitely generadas $A$-módulo, pero puedes usar el truco habitual de un ideal de ser la unidad ideal iff contiene $1$ con el fin de trabajar con un anillo que es un finitely generadas $A$-módulo.

Estoy feliz de decir más, pero quería darle las principales ideas y ver cómo eso fue al principio.