Funciones racionales con valor absoluto$1$ en$\mathbb{S}^1$

Question

Esta es una cuestión en Análisis Complejo. No debería ser muy difícil, pero me falta el truco.

La pregunta que se nos pide encontrar la forma general de las funciones racionales $R:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ tal que $|R(z)|=1$ todos los $|z|=1$. Luego se nos pide encontrar una relación entre los polos y ceros de estas funciones.

No he avanzado mucho. Pero sé que todos los $z^{k} (k\in\mathbb{Z})$ satisface la condición. Sus ceros $0$ (o $\infty$) inversa de sus polos $\infty$ (o $0$). Otra dirección que pensé fue que si $R(z)$ es una función entonces es $R(1/z)$.

Muchas gracias!

Answer 1

Considerar $ \frac{1}{\overline{R(\overline{1/z})}}$. Esto concuerda con$R$ en el círculo unitario, por lo que es igual a$R$, porque las funciones racionales que concuerdan en infinitos puntos son iguales. ¿Qué te permite concluir esto? (Supongamos que$z_0$ es un cero de$R(z)$. Entonces algo relacionado es un polo para la expresión de arriba. Pero son iguales ...)

Answer 2

Esta respuesta utiliza métodos que no se han desarrollado aún cuando Ahlfors asigna el ejercicio en cuestión. Pero creo que es conceptualmente clara. (Es el método de Jim Belk se refería a la anterior).

Deje $R(z)$ ser como en la pregunta. Si $f(z)$ es todo un mapa de conformación del envío de la unidad círculo en el eje real, podemos formar una función de $Q(z)=f(R(f^{-1}(z)))$. A continuación, $Q(z)$ sólo toma valores reales en la recta real. A continuación, $Q(z)=\overline{Q(\overline{z})}$ sobre la línea real. Porque están de acuerdo en un denso conjunto, deben estar de acuerdo en todas partes. Usted puede, a continuación, ejecute el mismo argumento como en mi otra respuesta. (Si $z_0$ es un cero de $Q(z)$, $\bar z_0$ debe ser también, etc.) Por último, utilizar su conocimiento de la conformación de mapas para tirar de lo que descubrió de nuevo a la unidad de disco.