Unión de conjuntos en la categoría de conjuntos

Question

Dejemos que $\mathrm{Set}$ sea la categoría de todos los conjuntos con morfismos que son sólo funciones entre conjuntos. Para dos conjuntos $U,V$ existe la noción categórica de su coproducto que no es más que la unión disjunta $U\sqcup V$ o, alternativamente, puede realizarse como un colímite.

¿Existe una descripción categórica para $U\cup V$ ¿la habitual unión de conjuntos? Lo que quiero decir es una descripción que no se refiera a los elementos de $U$ y $V$ .

Answer 1

Sí. La unión es el coproducto en la categoría de subconjuntos de otro conjunto. Se puede construir dentro de la categoría de conjuntos como un pushout, concretamente del diagrama $A\leftarrow A\cap B \to B$ que puede o no ser satisfactorio, ya que no se puede definir la intersección sin elementos más fácilmente que la unión. Pero no deberías esperar poder definir la unión sin elementos: categóricamente, no hay diferencia entre conjuntos de la misma cardinalidad pero con diferentes elementos, así que realmente tienes que especificar alguna manera en la que vas a identificar los elementos. Al escribir ambos $A$ y $B$ como subconjuntos de un conjunto fijo, como primera mención, puede ser la mejor manera de hacerlo.

Answer 2

Esta es una respuesta provisional, no estoy seguro:

En lugar de buscar la unión en $Set$ Considera que $Set_m$ , aquí definida como la subcategoría de $Set$ con todos los conjuntos como elementos y sólo los monomorfismos como morfismos. (el monomorfo no es terminal en $Set_m$ (como una nota lateral no relacionada)

Su $U$ y $V$ objetos en $Set$ también están en $Set_m$ así que considérelos allí y tome su coproducto en $Set_m$ . Se obtiene un conjunto $U \cup V$ en $Set_m$ y dos monomorfismos de inclusión, y puedes llevarlos a $Set$ por el functor de inclusión de la subcategoría.