Problema: para% fijo$m,n\in\mathbb{N}$, encuentre$$\sum_{k_1+\cdots+k_n=m}\frac{1}{k_1!\cdots k_n!}$ $ donde la suma es sobre todos los enteros$k_i\geq 0$ de manera tal que$k_1+\cdots+k_n=m$.
Intenté crear una serie con los coeficientes anteriores, pero fallé.
El teorema multinomial dice que $$ (x_1 + x_2 + \ dots + x_n) ^ m = \ sum_ {k_1 + \ cdots + k_n = m} \ frac {m!} {K_1! K_2! \ Cdots k_n!} X_1 ^ {k_1 } x_2 ^ {k_2} \ cdots x_n ^ {k_n} $$ Por lo tanto $$ (\ overbrace {1 +1 + \ dots +1} ^ {n \ text {ones}}) ^ m = \ sum_ {k_1 + \ cdots + k_n = m} \ frac {m!} {k_1! k_2! \ cdots k_n!} $$ y así $$ \ sum_ {k_1 + \ cdots + k_n = m} \ frac1 {k_1! k_2! \ cdots k_n!} = \ frac {n ^ m} {m!} $$
Usando series de potencias (¿qué es lo que supongo que intentabas usar?):
PS
El coeficiente de$$e^{nx} = \left(1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{x^n}{n!} + \dots\right)^n $ en el lado derecho es su expresión.
El lado izquierdo es
PS
El coeficiente de$x^m$ es$$e^{nx} = 1 + nx + \frac{(nx)^2}{2!} + \dots + \frac{(nx)^m}{m!} + \dots$ $
Nota: usamos la serie de potencias para$x^m$.
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