Si$A^kX=B^kY$ para todos$k$, es$X=Y$?

Question

Este es más general que el que pedí antes.

Dadas las matrices invertibles$A,B$ y las matrices$X,Y$, todas con el tamaño$n$, de manera que$A^k X = B^k Y$ para$k=1,2,...,2n$. ¿Sigue ese$X = Y$?

No tengo idea de dónde trabajar. Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Sea $$ C = \begin{pmatrix} A & 0 \\0 & B \\ \end {pmatrix} \,. $$

Luego,$C$ se puede invertir con $ C ^ {1} = = \begin{pmatrix} A^{-1} & 0 \\0 & B^{-1} \\ \end{pmatrix} \,. $

Deje que$P(x)=x^{2n}+a_{2n-1}x^{2n-1}+....+a_0$ sea el polinomio característico de$C$. El, ya que$C$ es invertible tenemos$a_0 \neq 0$.

Así

PS

Dejar $$I_{2n}=-\frac{1}{a_0} [ C^{2n}+a_{2n-1}C^{2n-1}+....+a_1C] \,.$

Como$Q(x)=-\frac{1}{a_0} [ x^{2n}+a_{2n-1}x^{2n-1}+....+a_1x] \,.$ de la definición de$Q(C)=I_{2n}$ obtenemos$C$.

De$Q(A)=Q(B)=I_n$ obtenemos$A^kX=B^kY, \forall 1 \leq k \leq 2n$, por lo tanto,$Q(A)X=Q(B)Y$:

PS