Desigualdad y límites del triángulo

Question

Necesito ayuda para responder a la siguiente pregunta:

Utilice la desigualdad del triángulo y la desigualdad del triángulo inverso para encontrar el límite superior de $|(x^2-3)/(x-2)|$ si $x$ se extiende sobre $|x-1| \lt \frac23$

Tengo problemas para entender la desigualdad del triángulo.

Hasta ahora tengo que $\frac13 \lt x \lt \frac53$

No sé cómo aplicar eso para encontrar los límites y mis apuntes de clase no son claros.

Answer 1

La principal dificultad proviene del denominador. Yo iría por ahí, ya que tenemos una información sobre $\lvert x-1\rvert$ : como $x^2-3=(x-1)^2+2(x-2)$ podemos escribir $$\biggl\lvert\frac{x^2-3}{x-2}\biggr\rvert=\biggl\lvert\frac{(x-1)^2}{x-2}+2\biggr\rvert\le\biggl\lvert\frac{(x-1)^2}{x-2}\biggr\rvert+2.$$

por la desigualdad del triángulo. Ahora $(x-1)^2\le \dfrac49$ y, por la desigualdad del triángulo inverso: $$\lvert x-2\rvert=\lvert(x-1)-1\rvert\ge\biggl\lvert\frac23-1\biggr\rvert=\frac13$$ de donde $\;\biggl\lvert\dfrac{x^2-3}{x-2}\biggr\rvert\le\dfrac{\dfrac49}{\dfrac13}+2=\dfrac{10}3$ .