¿Orden de elementos de $GL(2,q)$?

Question

Hay una propiedad en particular de los elementos de $GL(2,q)$, el grupo lineal general de $n\times n$ matrices sobre un campo finito de orden $q$, lo que no entiendo.

Primero, yo sé que el orden de $GL(2,q)$$(q^2-1)(q^2-q)=q(q+1)(q-1)^2$, ya que hay $q^2-1$ posibles vectores para la primera columna, con exclusión de la $0$ vector, y $q^2-q$ posible vector para la segunda columna, con exclusión de todos los múltiplos de la primera.

De modo que el orden de cualquier elemento debe dividir $q(q+1)(q-1)^2$ por Langrange. Howeover, hay otro detalle que cualquier elemento debe tener un orden dividiendo $q(q-1)$ o $(q-1)(q+1)$. Hay una razón por la que uno puede acotar el fin de dividir uno de los factores más pequeños de $q(q+1)(q-1)^2$? Gracias!

Answer 1

Decir $q=p^n$, $p$ prime, $n\gt 0$.

Si la matriz es diagonalizable, entonces usted puede encontrar elementos $a$ $b$ $\mathbb{F}_q$ tal que $$A\sim\left(\begin{array}{cc} a&0\\ 0&b \end{array}\right).$$ Desde $ab\neq 0$, entonces a partir de la $a^{q-1}=b^{q-1} = 1$, se deduce que el $A^{q-1}=I$, por lo que el orden se divide $q-1$. La selección de $a$ a ser una raíz primitiva demuestra que no podemos salir con algo más pequeño.

Si $A$ no es diagonalizable, pero ha repetido autovalor, entonces es similar a la matriz $$\left(\begin{array}{cc} a & 1 \\ 0 & a \end{array}\right).$$ El $n$th poder de esta matriz es $$\left(\begin{array}{cc} a & 1\\ 0 & a\end{array}\right)^n = \left(\begin{array}{cc} a^n & na^{n-1}\\ 0 & a^n \end{array}\right).$$ Para que esto sea la identidad, necesitamos $n$ a ser un múltiplo de la orden de $a$ en el grupo multiplicativo de las unidades, y para $n$ a ser un múltiplo de la característica. El orden de $a$ es coprime a la característica, por lo que el orden es un múltiplo de a $p$ que divide $p(q-1)$; la selección de $a$ a ser una raíz primitiva muestra que puede salir con nada más pequeños.

Si la matriz no tiene autovalores, entonces es diagonalizable en el campo de la $q^2$ elementos, y así por el primer caso anterior tiene el fin de dividir a $q^2-1$; la selección de un polinomio primitivo para $\mathbf{F}_{q^2}$ $\mathbf{F}_q$ va a producir una matriz de orden exactamente $q^2-1$.

Así que en cualquier caso, el orden de un elemento divide $p(q-1)$ (si es que tiene los autovalores), o divide $q^2-1$ (si no tiene autovalores).