Análisis real, 2.18 (Lema de Fatou) Integración de funciones no negativas

Question

2.18 Lema de Fatou: si$\{f_n\}$ es una secuencia en$L^+$, entonces$$\int \left(\lim_{n\rightarrow \infty}\inf f_n\right) \leq \lim_{n\rightarrow \infty}\inf\int f_n$ $

Prueba de intento: sabemos que$$\int \left(\lim_{n\rightarrow \infty}\inf f_n\right) = \int \sup_{k\geq 1}\left(\inf_{n\geq k}f_n\right) = \int \lim_{k\rightarrow \infty}\inf_{n\geq k}f_n$$ Then by the Monotone Convergence theorem $$\int \lim_{k\rightarrow \infty}\inf_{n\geq k}f_n = \lim_{k\rightarrow \infty}\int \inf_{n\geq k}f_n$$ Note that the Monotone Convergence theorem can be applied because $$\inf_{n\geq k} f_n \leq \inf_{n\geq k+1} f_n$ $

Vemos que$\inf_{n\geq k}f_n \leq f_k$ para todos$n\geq k$. Entonces, \begin{align*} \int \inf_{n\geq k}f_n &\leq \int f_k \ \forall n\geq k\\ &\leq\inf_{n\geq k}\int f_n\\ &\leq \lim_{k\rightarrow \infty}\inf_{n\geq k}\int f_n \end {align *}

Puede que tenga algunos errores de indexación, pero creo que esta es una prueba suficiente. Cualquier sugerencia es muy apreciada.

Answer 1

Me parece correcto. Podría agregar que el teorema de convergencia monótono se puede aplicar porque$$\inf_{n\geq k} f_n \leq \inf_{n\geq k+1} f_n$ $

Además, su "error de indexación" es que debería haber sido$\inf_{n\geq k} f_n \leq f_k$. Y no es "para todos$n\geq k$", ya que$n$ es una variable interna de$\inf$. Es "para todos los$k$".

Answer 2

La prueba es esencialmente correcto. Sólo algunos pequeños ajustes son necesarios.

2.18 Fatou del Lexema - Si $\{f_n\}$ es cualquier secuencia en $L^+$, $$\int \left(\lim_{n\rightarrow \infty}\inf f_n\right) \leq \lim_{n\rightarrow \infty}\inf\int f_n$$

Prueba - sabemos que $$\int \left(\lim_{n\rightarrow \infty}\inf f_n\right) = \int \sup_{k\geq 1}\left(\inf_{n\geq k}f_n\right) = \int \lim_{k\rightarrow \infty}\inf_{n\geq k}f_n$$, Entonces por el teorema de Convergencia Monótona $$\int \lim_{k\rightarrow \infty}\inf_{n\geq k}f_n = \lim_{k\rightarrow \infty}\int \inf_{n\geq k}f_n \tag{1}$$ Tenga en cuenta que la Monotonía teorema de Convergencia puede ser aplicado debido a que $$\inf_{n\geq k} f_n \leq \inf_{n\geq k+1} f_n$$ en otras palabras, $\{\inf_{n\geq k} f_n\}_k$ es un no-disminución de la secuencia de la no-negativo funciones.

Vemos que $\inf_{n\geq k}f_n \leq f_n$ todos los $n \geq k$. Así, \begin{align*} \int \inf_{n\geq k}f_n &\leq \int f_n \ \forall n\geq k\\ &\leq\inf_{n\geq k}\int f_n \end{align*}

Desde $\inf_{n\geq k}\int f_n$ es un no-disminución de la secuencia de (extended) de números reales, hay $\lim_{k \to +\infty}\inf_{n\geq k}\int f_n$ y obtenemos, de $(1)$, $$\int \lim_{k\rightarrow \infty}\inf_{n\geq k}f_n = \lim_{k\rightarrow \infty}\int \inf_{n\geq k}f_n \leq \lim_{k \to +\infty}\inf_{n\geq k}\int f_n$$