Una prueba más corta de$R/I$ es un campo si y solo si$I$ es máximo

Question

Aquí es una prueba de vi en alguna parte de el hecho de $R/I$ es un campo si y sólo si $I$ es máxima:

$\implies$ Supongamos que $R/I$ es un campo y $B$ es un ideal de a $R$ que si bien contiene $I$. Deje $b \in B$ pero $b \notin I$. A continuación, $b + I$ es un elemento distinto de cero de a $R/I$ y por lo tanto existe un elemento $c + I$ tal que $(c + I)(b + I) = 1 + I$. Desde $b \in B$ tenemos $bc \in B$. Debido a $1 + I = (c + I)(b + I) = bc + I$ tenemos $1 - bc \in I \subset B$. Por lo $1 = (1-bc) + bc \in B$. Por lo tanto $B = R$.

$\Longleftarrow$ Ahora supongamos $I$ es máxima y deje $b \in R$ pero $b \notin I$. Considere la posibilidad de $B = \{br + a \mid r \in R, a \in I \}$. Este es un ideal correctamente contengan $I$. Desde $I$ es máxima, $B = R$. Por lo tanto $1 = bc + a^\prime$ algunos $a^\prime \in I$. A continuación,$1 + I = bc + a^\prime + I = bc + I = (b + I)(c + I)$.

Pensé que esto era bastante larga, así que traté de subir con un menor tiempo de prueba. Me pueden decir si esto es correcto:

$\implies$ Asume que $R/I$ es un campo y $I$ no es maximal. Entonces existe un $x \in R - I = I^c$ que no es una unidad (de lo contrario $I$ máximo). A continuación, $x + I$ no tiene un inverso por lo tanto $R/I$, no es un campo.

$\Longleftarrow$ Asumen $I$ es máxima y $R/I$, no es un campo. A continuación, hay un $x$ tal que $x + I \neq 0 + I$ no tiene un inverso. Esta $x$ no $I$ $x$ no es una unidad. Por lo tanto $I \subsetneq I + (x) \subsetneq R$. Lo que contradice $I$ siendo máxima.

Answer 1

Ambas direcciones de su prueba están equivocadas. Si$x$ no es una unidad en$R$, todavía es posible que$x+I$ sea una unidad en$R/I$. Si$x$ no está en$I$ y no es una unidad, es posible que$I+(x)$ sea$R$. En ambos casos, puede tomar$R=\mathbb{Z}$,$I=2\mathbb{Z}$ y$x=3$.

Answer 2

Creo que el comentario de mk tiene razón en el dinero: suponiendo que pueda probar que un anillo unitario conmutativo es un campo si no tiene ideales no triviales (cuando por "ideal trivial" aquí entendemos todo el anillo y el cero ideal.):

$R/I\,$ es un campo$\,\Longleftrightarrow \nexists\,\,\text{non-trivial}\,\, J/I\leq R/I\Longleftrightarrow \nexists\,\,\text{non-trivial}\,\,I\lneq J\lneq R\Longleftrightarrow I\, $ es un ideal máximo.