Integral de$x^2\ln(x)$ usando la regla de Simpson

Question

Esta es mi pregunta de la tarea: Calcular$\int_{0}^{1}x^2\ln(x) dx$ usando la fórmula de Simpson. El error máximo debe ser$1/2\times10^{-4}$

Para resolver el problema, necesito calcular la cuarta derivada de$x^2\ln(x)$. Es$-2/x^2$ y su valor máximo será$\infty$ entre$(0,1)$ y no puedo calcular$h$ en la siguiente fórmula de error para usar en la fórmula de Simpson.

PS

¿Cómo puedo resolverlo?

Answer 1

Voy a ampliar sobre el cobre.sombrero del comentario. Deje $f(x)=x^2\ln(x)$$(0,1]$, e $f(0)=0$. Tenga en cuenta que $f$ es continua en a $[0,1]$. La primera derivada de la $f$$f'(x)=x+2x\ln(x)$. El único punto crítico en $(0,1)$$x=1/\sqrt{e}$, e $f$ es decreciente en el intervalo de $[0,1/\sqrt{e}]$. Por lo tanto, si $0<c<1/\sqrt{e}$,$cf(c)<\int_0^cf(x)dx<0$. Usted puede elegir $c$ tal que $|cf(c)|<\frac{1}{4}\times 10^{-4}$. Esto deja a la estimación de la integral de la $\int_c^1f(x)dx$, y en el intervalo de $[c,1]$$|f^{(4)}(x)|\leq |f^{(4)}(c)|=\frac{2}{c^2}$, por lo que para elegir su $h$ puede resolver la desigualdad $\frac{(1-c)}{90c^2}h^4<\frac{1}{4}\times 10^{-4}$.

Por ejemplo, $c=0.01$, $h=0.01$ iba a funcionar. La regla de Simpson puede ser aplicado en todo el intervalo de con $h=0.01$, debido a que el error en cada una de las $[0,0.01]$ $[0.01,1]$ menos de $\frac{1}{4}\times 10^{-4}$, lo que significa que el error total será menor que $\frac{1}{2}\times 10^{-4}$ (en valor absoluto).

Answer 2

Como ya se ha notado, $f(x)$ no $C^4$ en el intervalo cerrado $[0,1]$, y una estimación directa en el error en el método de Simpson es problemático. Una manera de manejar las cosas es quitar la izquierda punto final como se describe por Jonas Meyer. Otra manera de manejar débil singularidades como estos es empezar con un cambio de variables.

Para esta integral, se puede comprobar que la sustitución de $x = t^a$ $a$ lo suficientemente grande como se gire el integrando en un $C^4$ función. Por ejemplo, $a = 2$ da $x = t^2$, $dx = 2t\,dt$, así

$$\int_0^1 x^2 \ln(x)\,dx = \int_0^1 t^4 \ln(t^2)\,2t\,dt= 4\int_0^1 t^5\ln(t)\,dt.$$

Deje $g(t) = t^5\ln(t)$. Se puede comprobar que $g(t)$$C^4$$[0,1]$. (Que se extendió a $g(0) = 0$, por supuesto). Además $|g^{(4)}(t)| \le 154$$[0,1]$. La regla de Simpson en $g$ funciona ahora (razonablemente).