¿Cómo simplificaría mi integral definida correctamente?

Question

Ecuación original$$\int_1^3\frac{1}{x^2-2x+5}\mathrm{d}x$ $ Esto es lo que hice al completar el cuadrado.$$(x^2-2x)+5\\(x^2-2x+1)+5+1\\(x-1)^2+6$$Then i plugged in back into the integral to use one of the inverse trig identities specifically tangent.$$\frac{1}{6+(x-1)^2}\\\frac{1}{\sqrt{6}}\mathrm{tan}^{-1}(\frac{x-1}{\sqrt{6}})$$Then i plugged in my limits.$$\frac{1}{\sqrt{6}}\mathrm{tan}^{-1}(\frac{3-1}{\sqrt{6}})-\frac{1}{\sqrt{6}}\mathrm{tan}^{-1}(\frac{1-1}{\sqrt{6}})$ $ Entonces, ¿cómo me iría? ¿Para simplificar más allá de esto?$$\frac{1}{\sqrt{6}}\mathrm{tan}^{-1}(\frac{2}{\sqrt{6}})$ $

Answer 1

$$\int_1^3\frac{1}{x^2-2x+5}dx$ $$$=\int_1^3\frac{1}{(x-1)^2 + 4}dx$ $$$=\frac{1}{2}\tan^{-1}(u)\bigg|_0^1$ $$$= \frac{\pi}{8}$ $

Dejé mucho aquí, pero supongo que puedes completar los pasos que faltan. Editar: ¡Me equivoqué un poco, pero lo arreglé!

Answer 2

$x^{2}-2x+5=\left( x-1 \right)^{2}+4$ y después de la simplificación obtendrás$\frac{\pi }{8}$ como la respuesta a la integral