Calcular el $\lim_{x \to 0} (e^x-1)/x$ sin utilizar la regla de L'Hôpital

Question

Cualquier idea sobre cómo calcular el límite de la $(e^x -1)/{x}$ $x$ va a cero sin aplicar la regla de L'Hôpital?

Answer 1

Usando la Desigualdad de Bernoulli, para todos los $x$, de modo que $|x|\le n$, $$ 1+x\le\left(1+\frac xn\right)^n\etiqueta{1} $$ Por lo tanto, dejando $n\to\infty$, tenemos para todos los $x$, $$ 1+x\le e^x\etiqueta{2} $$ Además, para $|x|\lt1$, $$ 1-x\le e^{-x}\implica\frac1{1-x}\ge e^x\etiqueta{3} $$ Por lo tanto, restando $1$ $(2)$ $(3)$ da $$ x\le e^x-1\le\frac x{1-x}\etiqueta{4} $$ Ya estamos buscando el límite de $x\to0$, suponga que $|x|\lt1$. Si $x$ es positivo o negativo, $(4)$ dice que $$ \frac{e^x-1}{x}\text{ es entre el $1$ y }\frac1{1-x}\etiqueta{5} $$ Por lo tanto, por el Teorema del sándwich, obtenemos $$ \lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1\etiqueta{6} $$

Answer 2

No sé si esto es realmente "sin" Hôpitals regla para usted, pero si usted está permitido el uso de $$ \exp(x)=\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} $$ el límite es directa, dado que esta suma converge localmente uniformemente.

Answer 3

$$e^x=1+x+1/2x^2+\cdots$$

$${e^x-1\over x}={x+x^2/2+\cdots\over x}=1+\frac12x+\cdots$$

$$\lim_{x\to0}{e^x-1\over x}=\lim_{x\to0}1+\frac12x+\cdots=1.$$

Answer 4

Observe que cuando se $x$ es muy pequeño cerca de $0$, tenemos:

Si $x > 0 \Rightarrow 1+x < e^x < 1 + x + 2x^2 \to 1 < \dfrac{e^x-1}{x} < 1 + 2x$, y dejando $x \to 0^{+}$, tenemos: $\displaystyle \lim_{x \to 0^{+}} \dfrac{e^x-1}{x} = 1 \tag{1}$,

y para $x < 0 \Rightarrow 1 > \dfrac{e^x-1}{x} > 1 + 2x$, y dejando $x \to 0^{-}$, tenemos: $\displaystyle \lim_{x\to 0^{-}} \dfrac{e^x-1}{x} = 1 \tag{2}$.

$(1),(2) \Rightarrow \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{e^x-1}{x} = 1$.