Tener problemas para entender la prueba del Teorema de Rouché

Question

Estoy tratando de entender esto una prueba del teorema de Rouché, pero me falta la lógica de la última y más importante paso. Aquí están los supuestos:

Supongamos que $ f $ $ g $ son analíticas en el interior y en regular curva cerrada $ \gamma $ y $ |f(z)| \gt |g(z)| $ para la totalidad de los $ z > \en \gamma $. Then $$ \mathcal{Z}(f + g) = \mathcal{Z}(f) \text{ dentro de > } \gamma $$

La prueba es como sigue:

Primera nota de que $ f \neq 0$ $ \gamma $ ya que de lo contrario $ |g| \lt 0 $ que no tiene ningún sentido. Por lo tanto, podemos escribir la siguiente:

$$ \mathcal{Z}(f + g) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma}\frac{(f+g)'}{(f+g)} = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma} \frac{(f(1 + \frac{g}{f}))'}{f(1 + \frac{g}{f})} = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma} \frac{f'}{f} + \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma} \frac{(1 + \frac{g}{f})'}{(1 + \frac{g}{f})} $$

Sabemos $ f $ es analítica, por lo $ \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma} \frac{f'}{f} = \mathcal{Z}(f) $ por el argumento de principio. Lo que no sé es por qué es $ \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma} \frac{(1 + \frac{g}{f})'}{(1 + \frac{g}{f})} = 0$?

Answer 1

Desde $\bigl|{g(z)\over f(z)}\bigr|<1$, se deduce que el $1+{g(z)\over f(z)}$ debe estar en la mitad derecha del plano para todos los $z\in \gamma$. Pero, a continuación, la curva de $z\mapsto 1+{g(z)\over f(z)}$ no puede rodear $0$, lo $Z(1+{g(z)\over f(z)})=0$.

Answer 2

La cosa clave a tener en cuenta es que el$\frac{|g|}{|f|} \in (0,1)$, por lo que la imagen de $\gamma$ dentro de la función de $1+\frac{g}{f}$ se encuentra estrictamente en el interior de la bola abierta de radio uno sobre el punto de $1$ en el plano complejo.

Un dibujo debe convencerse de que la liquidación número sobre el origen de cualquier curva con esta propiedad es cero. Formalmente, la rama principal de lograrithm es una continua elección de argumento para esta curva, y por lo que la liquidación número es un cero a partir de eso.

Tenga en cuenta que el argumento principio nos dice que esto significa que el número de ceros de $1+\frac{g}{f}$ es igual al número de polos de la $1+ \frac{g}{f}$ dentro $\gamma$, pero no nos dice cuántos de cada uno hay.

Un poco diferente a prueba de simplemente muestra que la liquidación número de $h=\frac{f+g}{f}$ es cero utilizando el argumento anterior, y, a continuación, destacar que desde $f$ $g$ son holomorphic dentro de $\gamma$, polos de $h$ corresponden a los ceros de $f$. Por lo tanto desde $\mathcal{Z}(h)=\mathcal{P}(h)$ el número de ceros de $f+g$ es igual al número de ceros de $f$, que es lo que queríamos. Por supuesto, todo esto sólo es cierto cuando contando con la multiplicidad.