$\kappa$-Suslin (Aronszajn, Kurepa) subárbol del árbol binario completo, $2^{\lt \kappa}$

Question

Este es el capítulo 2 de Kunen, la teoría de conjuntos: una introducción a la independencia de las pruebas.

Dado $\kappa$ regular cardenal, y la existencia de una $\kappa$-Suslin (Aronszajn, Kurepa) árbol, muestran que hay una que es un subárbol del árbol binario completo $2^{&lt\kappa}$.

Answer 1

Para $\kappa$-Kurepa árboles el resultado es una consecuencia inmediata de la prueba del Teorema II.5.18. Ahora supongamos que $T$ $\kappa$- Aronszajn árbol. Podemos suponer que la $T$ es bien podados.

Añadido: Por $\alpha<\kappa$ deje $T_\alpha=\bigcup_{\xi<\alpha}\operatorname{Lev}_\xi(T)$ como un subárbol de $T$, y deje $\Lambda$ el conjunto de ordinales límite inferior $\kappa$. Al realizar la siguiente cirugía, que además puede suponer que si $\eta\in\Lambda$, e $B$ es una rama de $T_\eta$, entonces hay un $t\in\operatorname{Lev}_\eta(T)$ que se extiende $B$.

Para cada una de las $\eta\in\Lambda$ deje $\mathscr{B}_\eta$ el conjunto de las ramas a través de $T_\eta$ que tienen al menos una prórroga en $\operatorname{Lev}_\eta(T)$. Vamos

$$T\,'=T\cup\bigcup_{\eta\in\Lambda}\mathscr{B}_\eta\;,$$

y ampliar el árbol de la relación $\le$ $T\,'$mediante el establecimiento $x\le y$ fib

$$\begin{align*} &x,y\in T\text{ and }x\le y\;,\\ &x,y\in T\,'\setminus T\text{ and }x\subseteq y\;,\\ &x\in T,y\in T\,'\setminus T,\text{ and }x\in y\;,\text{ or}\\ &x\in T\,'\setminus T,y\in T,\text{ and }\forall y\in x(x<y)\;. \end{align*}$$

En palabras, lo primero que reemplazar cada nivel del límite de $\operatorname{Lev}_\eta(T)$ con un nivel que contiene exactamente un punto por cada sucursal a través de $T_\eta$ que tiene al menos una extensión en $\operatorname{Lev}_\eta(T)$. Luego empujamos cada nivel de $\operatorname{Lev}_{\eta+k}(T)$ $k\in\omega$ hasta un nivel superior: como conjuntos, $\operatorname{Lev}_{\eta+k}(T)=\operatorname{Lev}_{\eta+k+1}(T\,')$. Claramente $T\,'$ es todavía un $\kappa$-árbol, y esta operación no introducir cualquier tipo de $\kappa$-cadenas o $\kappa$-antichains.

Voy a inductivamente la construcción de un subárbol $S$ $T$ marcados por los elementos de a $^{<\kappa}2$.

Deje $s_{\langle\rangle}$ ser la raíz de $T$; $\operatorname{Lev}_0(S)=\{s_{\langle\rangle}\}$. Supongamos que hemos construido $\operatorname{Lev}_\eta(S)$ algunos $\eta<\kappa$ de tal manera que $\operatorname{Lev}_\eta(S)\subseteq\operatorname{Lev}_\alpha(T)$ algunos $\alpha<\kappa$. Claramente $|\operatorname{Lev}_\eta(S)|<\kappa$. Por el Lema II.5.12, para cada una de las $s_\sigma\in\operatorname{Lev}_\eta(S)$ no es un porcentaje ($\beta_\sigma>\alpha$tal que $s_\sigma$ tiene al menos dos sucesores en $\operatorname{Lev}_{\beta_\sigma}(T)$. Vamos $\beta=\sup\{\beta_{\sigma}:s_\sigma\in\operatorname{Lev}_\eta(S)\}$; $\kappa$ es regular, por lo $\beta<\kappa$. Desde $T$ es bien podados, cada una de las $s_\sigma\in\operatorname{Lev}_\eta(S)$ tiene al menos dos sucesores en $\operatorname{Lev}_\beta(T)$. Para cada una de las $s_\sigma\in\operatorname{Lev}_\eta(S)$ elegir dos sucesores en $\operatorname{Lev}_\beta(T)$, con la etiqueta $s_{\sigma^{\frown}0}$$s_{\sigma^{\frown}1}$, y deje $\operatorname{Lev}_{\eta+1}(S)=\{s_{\sigma^{\frown}i}:s_\sigma\in\operatorname{Lev}_\eta(S)\text{ and }i\in\{0,1\}\}\subseteq\operatorname{Lev}_\beta(T)$.

Ahora supongamos que $\eta<\kappa$ es un ordinal límite y que hemos construido $\operatorname{Lev}_\xi(S)$ $\xi<\eta$ de tal manera que hay un aumento de la secuencia de $\langle\alpha_\xi:\xi<\eta\rangle$ $\kappa$ tal que $\operatorname{Lev}_\xi(S)\subseteq\operatorname{Lev}_{\alpha_\xi}(T)$ por cada $\xi<\eta$. Vamos $$S_\eta=\bigcup_{\xi<\eta}\operatorname{Lev}_\xi(S)\;,\tag{1}$$ a subtree of $T$ of height $\eta$. Suppose that $B$ is a branch through $S_\eta$; the construction ensures that there is a $\sigma\in{^\eta 2}$ such that $B=\{s_{\sigma\upharpoonright\xi}:\xi<\eta\}$. Let $\alpha=\sup\{\alpha_\xi:\xi<\eta\}<\kappa$. There is at most one element of $\operatorname{Lev}_\alpha(T)$ that extends $B$; if there is one, label it $s_\sigma$. Let $\operatorname{Lev}_\eta(S)$ be the set of such $s_\sigma$, one for each branch through $S_\eta$ that has an extension in $\operatorname{Lev}_\alpha(T)$.

Claramente que esta construcción puede llevarse a cabo para la construcción de $\operatorname{Lev}_\eta(S)$ todos los $\eta<\kappa$; el árbol de $S$ luego $S_\kappa$ como se define por $(1)$, y el subárbol de $^{<\kappa}2$$S'=\{\sigma\in{^{<\kappa}2}:s_\sigma\in S\}$. Debe quedar claro que $S$ $S'$ son isomorfos, por lo que es suficiente para comprobar que $S$ $\kappa$- Aronszajn. Pero esto es clara: por la construcción de cualquier cadena en $S$ es una cadena en la $T$.

También debe quedar claro que cualquier antichain en $S$ ya es un antichain en $T$, por lo que si $T$ $\kappa$- Suslin, por lo que es $S$.