A partir de la trigonometría básica conseguimos que el $x$ coordenadas tiende a...
$$a=\lim_{N \to \infty} \sum_{n=0}^{N} \frac{d}{2^n}\cos (45)$$
Aquí $\frac{d}{2^n}$ denota la magnitud de la $n+1$th hipotenusa (partimos de la suma en $0$ que es la razón por la que es un poco extraño con $n+1$). ¿Cómo puedo conseguir esto? Usted implícitas las distancias (hipotenusas) fue $d,d/2,d/4$ y asumí que fue una progresión geométrica. Donde aquí $d$ es la magnitud de la primera hipotenusa $n=0$, también conocido como la distancia entre el origen y el punto A. el Uso de la suposición de que usted va a obtener la fórmula para la hipotenusa en términos de $n$. Que luego se puede utilizar para encontrar las componentes horizontales de cada componente, a continuación, agregarlos a conseguir $a$ ya que son todas positivas.
Utilizando el mismo método (pero con componentes verticales alternando la dirección de signos), el $y$ coordinar tiende a:
$$b=\lim_{N \to \infty} \sum_{n=0}^{N} \frac{d}{2^n}\sin (45) (-1)^{n}$$
Que converge a un número positivo.
Nota: $\cos (45) = \sin (45) = \frac{1}{\sqrt{2}}$
Para la primera suma,
$$\sum_{n=0}^{\infty} (\frac{1}{2})^n=\frac{1}{1-(1/2)}=2$$
Así que como resultado de $a=\frac{2d}{\sqrt{2}}=\sqrt{2} d$.
Para el segundo,
$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{ (-1)^{n}}{2^n}=\sum_{n=0}^{\infty} (\frac{-1}{2})^n=\frac{1}{1-(-1/2)}=\frac{2}{3}$$
A partir de allí,
$$b=\lim_{N \to \infty} \sum_{n=0}^{N} \frac{d}{2^n}\sin (45) (-1)^{n}=\frac{2d}{3 \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}d}{3}$$
$$a+b=\frac{4d\sqrt{2}}{3}$$
Ahora todo lo que queda es encontrar a $d$....
Búsqueda de $d$ tiene que ver con la línea de Euler @almagesto, que pasa por el ortocentro, baricentro y circuncentro. Esto y el hecho de que $A$ formas un 45-45-90 triángulo isósceles con el $x$ eje, de manera que las coordenadas se $(x_0,y_0)=(x_0,x_0)$. Vamos a encontrar una fórmula que describe la línea de Euler dado a nuestros dos puntos de $(2,4)$$(3.5,2.5)$.
La pendiente de la recta es:
$$\frac{4-2.5}{2-3.5}=-1$$
De manera que la ecuación de la recta es:
$y=-1(x-2)+4=-x+6$
Sustituyendo el punto de $A=(x_0,x_0)$ obtenemos:
$x_0=-x_0+6$
$x_0=3$
Por lo tanto,
$$d=\sqrt{x_0^2+x_0^2}=\sqrt{2}|x_0|=3\sqrt{2}$$
Y así,
$$a+b=\frac{4(3\sqrt{2})\sqrt{2}}{3}=8$$
También
Conectar $d$ nuevo en las fórmulas que tenemos por $a$ $b$ usted puede conseguir que la $P=(6,2)$.
