Demostrando que todos los términos en la secuencia de enteros positivos (Recursivo)

Question

Me estoy preparando para Putnam y de trabajo a través de la práctica-como preguntas y estoy sorprendido. Tengo la secuencia definida por $a_1 = 1$ $a_{n+1} = 2a_n+\sqrt{3a_n^2-2}$ cualquier $n\in\mathbb{N}$ y estoy tratando de mostrar que cada término es un número entero positivo. Me estoy poniendo tan lejos como $a_{n+1}^2 -4a_{n+1}a_n + a_n^2 = -2$ pero no puedo averiguar cómo usar la relación recursiva para mostrar que todos los términos son números enteros. He intentado ampliar la secuencia en términos de $a_n$ o $a_{n+2}$ pero no parece para llevarme lejos. Cualquier sugerencias o ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

REVISADO SOLUCIÓN:

Como se comentó, tenemos $$a_{n+1}^2-4a_{n+1}a_n+a_n^2=-2$$

Por supuesto, también tenemos: $$a_n^2-4a_na_{n-1}+a_{n-1}^2=-2$$

Por lo tanto, $a_{n+1}$ $a_{n-1}$ son raíces de la ecuación cuadrática $$A^2-4Aa_n+a_n^2+2$$

Son distintos porque los $a_n$ están aumentando.

De ello se desprende que $$a_{n+1}+a_{n-1}=4a_n$$

El resultado deseado de la siguiente manera al instante.

Tenga en cuenta que esto se resuelve fácilmente para obtener:

$$a_n=\frac{3-\sqrt{3}}{6}\,(2+\sqrt{3})^n\;+\;\frac{3+\sqrt{3}}{6}\,(2-\sqrt{3})^n$$

Aunque usted no lo necesita.

Answer 2

lo que te falta es el automorphism grupo de la forma cuadrática $x^2 - 4 x y + y^2.$ En este sitio, la observación relevante es usualmente referido como Vieta de Salto, que es un caso especial. El punto es que una solución de $(x,y)$ $x^2 - 4 x y + y^2= k$(en este caso $k=-2$) puede ser reemplazada por una nueva solución $$ (y, 4y - x). $$ VERIFICACIÓN!!!!!!!!

Esto significa que $(a_n, a_{n+1})$ hace $(a_{n+1}, a_{n+2})$ con la específica $$ a_{n+2} = 4 a_{n+1} - a_n. $ $ , Por tanto, son todos los números enteros. Además, mientras $a_{n+1} > a_n,$ $a_{n+2} > a_{n+1},$ por lo que continúan aumentando y positiva para siempre por inducción.

día siguiente: un breve tutorial. Supongamos que tenemos enteros positivos $x,y,q$ y una meta fija en $T,$ un entero. A continuación, supongamos que tenemos $$ \color{blue}{ x^2 - q xy + y^2 = T.} $$ Tomemos $0 < x < y.$ el aumento de La dirección en la Vieta de Salto es $$ \color{green}{ (x,y) \mapsto (y, qy-x).} $$ La disminución de ( $0 < x < y$ ), la dirección es $$ \color{red}{ (x,y) \mapsto ( qx-y, x).} $$ Para ser más específicos, la cosa se mantiene la disminución de la suma de las entradas como de largo como $qx < 2y.$ La manera en que las pruebas se llegó a estos problemas es examinar las soluciones con $x \leq y$ pero $qx \geq 2y.$ Estos son lo que Hurwitz, en 1907, llamado Grundlösungen, o soluciones fundamentales. Si no hay soluciones, no hay ninguna solución en absoluto, porque los enteros positivos no puede disminuir para siempre. Si la solución fundamental tiene una de las variables de $x,y$ igual a cero, que dice que el destino de $T$ es un cuadrado. Y así sucesivamente. Por lo general, el salto fenómeno sigue siendo la misma, es el de las desigualdades hacia el final que varían.

Answer 3

Sólo otra forma de ver esto, considere la ecuación Diophantine $x^2=3y^2-2$, o en una más Pell-como la forma del $x^2-3y^2=-2$.

De Pell teoría, si usted comienza con un entero solución de $(x_1, y_1)$, de generar otro número entero solución por la recursividad $x_2+\sqrt3y_2 = (x_1+\sqrt3 y_1)(2+\sqrt3)$. Por lo tanto $y_2 = x_1+2y_1 = 2y_1 + \sqrt{3y_1^2-2}$, que es exactamente la recursividad tenemos.

Aquí estamos empezando con la solución particular $(x_1, y_1) = (1, 1)$$a_n = y_n$.

Answer 4

Esto podría no ser de mucha ayuda, pero me gustaría demostrar que si $a_n$ es positivo, $2 a_n$ es positivo y, a continuación, también muestran $\sqrt{3a_n^2-2}$ es positivo. Desde $a_1$ es positivo, procediendo $a_n$ también será positivo.