Prueba de que $P(A \mid C) = 1$ implica $P(A \mid B∩ C) = 1$

Question

Esto no son deberes. Estoy leyendo Probabilistic Graphical Models de Koller et al. $\space$ y un problema fácil en el capítulo $3$ me hizo pensar en un problema más general (en el que ahora estoy atascado). Tengo todo en su sitio excepto esto:

Sea $P(B \cap C) \neq 0$ . Entonces $P(A \space|\space B C) = 1$ si $P(A \mid C) = 1$ . Es intuitivamente obvio, pero no he podido demostrarlo formalmente. Me sale

$$P(A \mid BC) = \dfrac{P(ABC)}{P(BC)} = \dfrac{P(C) P(A\mid C) P(B\mid AC)}{P(BC)} = \dfrac{P(B\mid AC)}{P(B|C)}$$

No veo por qué esa relación en el lado derecho es $1$ . ¿Es así? ¿Qué es lo que no veo?

Answer 1

Supongamos que $\mathbb P(\ \mid C)$ y $\mathbb P(\ \mid B\cap C)$ ambos existen, es decir, que $$\mathbb P(B\cap C)\ne0. $$ A continuación, observe que $\mathbb P(A\mid C)=1$ sólo si $\mathbb P(A\cap C)=\mathbb P(C)$ sólo si $\mathbb P(C\setminus A)=0$ . Igualmente, $\mathbb P(A\mid B\cap C)=1$ sólo si $\mathbb P((B\cap C)\setminus A)=0$ . Pero $(B\cap C)\setminus A\subseteq C\setminus A$ de ahí que lo segundo implique lo primero, es decir, $$ \mathbb P(A\mid C)=1\implies \mathbb P(A\mid B\cap C)=1. $$

Answer 2

Mmmm ... No creo que sea obvio, la verdad. De hecho, creo que hay un par de contra-ejemplos listos.

En primer lugar, digamos $A\cap C =C$ . Es decir, cada vez que tenemos $C$ tenemos $A$ . Pero digamos que $B\cap A=\emptyset$ . Entonces, $P(A|C)=1$ . Pero $P(A|B)=0$ y, por lo tanto $P(A|B,C)=0$ .

Además, podríamos decir $A\cap C =C$ y $A\cap B=B$ pero $B\cap C=\emptyset$ . Entonces la probabilidad de cualquier cosa dado $B$ y $C$ es cero.

AFAICT, su primera afirmación implica la segunda sólo en el caso especial de que 1) $A\cap C =C$ y 2) $A\cap (B\cap C) = B\cap C$ .

Answer 3

Para tres acontecimientos cualesquiera $A,B,C$ , $P(A∩B∩C)=P[(A ∩C) ∩(B∩C)]=P(A ∩C)+ P(B∩C)-P[(A ∩C) ∪(B∩C)]$$ =P(A ∩C)+ P(B∩C)-P[(A∪B)∩C] $$=P(A ∩C)+ P(B∩C)-P(C)-P(A∪B)+P(A∪B∪C)$ . Ahora $\space$$ \space$

$(A ∪ B) ⊆ (A ∪ B ∪C)$

$\implies$ $ P(A∪B) ≤ P(A∪B∪C)$

$\implies$$ P(A ∩C)+ P(B∩C)-P(C)$

$\space$ $\space$ $\space$ $\space$$ ≤P(A∩C)+ P(B∩C)-P(C)-P(A∪B)+P(A∪B∪C)$

$\implies$$ P(A ∩C)+ P(B∩C)-P(C)≤P(A∩B∩C)$....(i) Además,

$(A∩B∩C)⊆(B∩C)$$ |implica $$P(A∩B∩C)≤P(B∩C)$ por lo que esto junto con (i) da,

$P(A ∩C)-P(C)≤P(A∩B∩C)-P(B∩C)≤0$ . Por lo tanto ,

$P(A|C)=1 \implies P(A ∩C)=P(C) \implies$$ 0≤P(A∩B∩C)-P(B∩C)≤0$

$\implies P(A∩B∩C)=P(B∩C)$$ \implica P\big(A|(B∩C)\big)=1$

Answer 4

$\mathbb{P}\{A|C\}=1$ implica $\mathbb{P}\{A,C\}=\mathbb{P}\{C\}$ lo que implica $A\subset C$ . Por lo tanto $\mathbb{P}\{A|B,C\}=1$ .