Nonatomic medir más de espacio que en conjunto mayores que los reales

Question

Pregunta: ¿alguien sabe un no-trivial nonatomic medir el espacio a través de un conjunto más grande de cardinalidad mayor que el de los reales? Por la no-trivial, me refiero a que no hay ningún conjunto de cardinalidad igual a la de los reales, de tal manera que el complemento es un conjunto null.

Antecedentes: el intento de encontrar una gran lista de ejemplos de medir los espacios, pero me parece que estos difícil de encontrar. Muchos ejemplos tienen algo que ver con la medida de Lebesgue o son muy complicados, así que trato de pensar en alguna medida los espacios de mí mismo.

Gracias de antemano!

Answer 1

Si $S$ es cualquier conjunto, no es una medida $\mu$ en el conjunto de $X=\{0,1\}^S$ tal que para cada finito $F\subseteq S$ y cada $a\in\{0,1\}^F$, $\mu(\{x\in X:x|_F=a\})=2^{-|F|}$ (esta medida puede ser definido en el $\sigma$-álgebra generada por estos conjuntos de $\{x\in X:x|_F=a\}$ el uso de la Caratheodory extensión del teorema de, por ejemplo). Intuitivamente, se puede pensar en esto como la medida de probabilidad asociada de forma independiente lanzar una moneda para cada elemento de la $S$. Esta medida es atomless mientras $S$ es infinito. Al $S$ es countably infinito, esto es esencialmente medida de Lebesgue en $[0,1]$ (creo que de la $0$s y $1$s como dígitos binarios de un número). Pero $S$ puede ser arbitrariamente grande, si $S$ es lo suficientemente grande, esta $X$ sin duda será un "trivial" en su sentido.

(Para probar la última reclamación, siempre hay al menos $|S|$ diferentes subconjuntos medibles de $X$ mod null establece, así que si $|S|>2^{2^{\aleph_0}}$, $\mu$ no puede ser concentrada en un conjunto de tamaño $2^{\aleph_0}$. Es probable que en realidad $|S|\geq 2^{\aleph_0}$ es suficiente, pero no veo cómo probar esto.)