$\tan(\pi/2)$ es indefinido pero $\cot(\pi/2)$ se define

Question

Sabemos que $\tan(\pi/2)$ es indefinido, y $\cot(\pi/2) = 0$ . Pero $\cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)} = \frac{1}{\tan(x)}$ . Entonces, ¿cómo es posible que para algún valor $x$ , $\tan(x)$ es indefinido pero $\,1/\tan(x)$ ¿se define?

Answer 1

La identidad $\cot(x) = \frac{1}{\tan(x)}$ sólo funciona cuando ambos están definidos. En realidad, esto no es una definición, sino una consecuencia del hecho de que $$ \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}, \quad \cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)} $$ y si tratas estas funciones como variables, entonces está claro que la identidad se mantiene. Pero esto no es del todo exacto, y como has observado, no se cumple para $x$ siendo un múltiplo entero de $\frac{\pi}{2}$ . En el campo de la geometría algebraica una identidad como $\cot(x) = \frac{1}{\tan(x)}$ se llamaría equivalencia birracional en lugar de la igualdad, para reflejar este hecho. Significa que las funciones son iguales dondequiera que estén definidas (y que están definidas en casi todas partes).

Si hay algún tipo de intuición para salir de esto, podría ser que $\cot(x)$ y $\frac{1}{\tan(x)}$ puede considerarse mayoritariamente igual como funciones pero no necesariamente cuando se trata de evaluaciones en puntos . Así que mientras manipules expresiones en las que las funciones actúan como variables, puedes considerarlas iguales, pero añade la restricción $x \neq \frac{n\pi}{2}$ a medida que se avanza para ayudar a recordar que no es siempre Es cierto.

Answer 2

Por qué decimos $\tan(\pi/2)$ es indefinido. Dado que $\frac{\sin(\pi/2)}{\cos(\pi/2)}$ y $\cos(\pi/2)=0$ deberíamos decir $\tan(\pi/2)$ es indefinido. Tenga en cuenta que $\frac{*}{0}$ siempre es indefinido.

Answer 3

1. $\tan$ y $\cot$ tienen dominios diferentes.

2. $\cot x\equiv\dfrac1{\tan x}.$

   Este es un identidad y dice: $\cot x=\dfrac1{\tan x}$ es universalmente verdadera dondequiera que se definan ambas funciones.

Usuario SassatelliGiulio's comentario lo resume muy bien: " $\cot x=\frac1{\tan x}$ es una identidad que se mantiene en la intersección de los dominios. No debe leerse como que las funciones tienen el mismo dominio".

Como alternativa, podemos definir $\cot x:=\dfrac1{\tan x},$ estipulando el dominio de $\cot$ como $\{x\in\mathbb R\mid \forall n{\in}\mathbb Z\;x\ne n\pi\}.$