Dada la integral elíptica completa del primer tipo $K(k)$ para el módulo $k$ ,
puede la función elíptica $$\text{cn}\left(\frac{2}{3}K\left(\frac{1}{2}\right)\bigg|\frac{1}{2}\right)$$ ¿se puede expresar de forma cerrada?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Explicar cómo una ecuación algebraica para $Z:=\operatorname{cn} \left(\frac{2K}{3}|m\right)$ se puede obtener, observe que
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Las propiedades de paridad habituales implican que $$\operatorname{cn} \left(\frac{4K}{3}\biggl|\,m\right)=\operatorname{cn} \left(2K-\frac{2K}{3}\biggl|\,m\right)=-\operatorname{cn} \left(-\frac{2K}{3}\biggl|\,m\right)=-\operatorname{cn} \left(\frac{2K}{3}\biggl|\,m\right)=-Z.$$
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Por otro lado, la fórmula de duplicación implica que $$\operatorname{cn} \left(\frac{4K}{3}\biggl|\,m\right)=\frac{1-2\operatorname{sn}^2 \left(\frac{2K}{3}|m\right)+m\operatorname{sn}^4 \left(\frac{2K}{3}|m\right)}{1-m\operatorname{sn}^4 \left(\frac{2K}{3}|m\right)}=\frac{2Z^2-1+m\left(1-Z^2\right)^2}{1-m\left(1-Z^2\right)^2}.$$
Así, $Z$ satisface la ecuación $$\frac{2Z^2-1+m\left(1-Z^2\right)^2}{1-m\left(1-Z^2\right)^2}=-Z.$$ Aunque ingenuamente es de $5$ orden, tiene una raíz obvia $Z=-1$ por lo que podemos deducir de ella un $4$ ecuación de orden $$\boxed{\quad m\left(Z^2-1\right)\left(Z-1\right)^2-2Z+1=0\quad}$$
En particular, la solución pertinente para $m=k^2=\frac12$ viene dada por $$Z=\frac{1-\sqrt2\cdot\sqrt[4]{3}+\sqrt3}{2}\approx 0.435421.$$
Anthony Cramp
Puntos
126
Suponiendo que $1/2$ es $k$ como en Maple ... Arce JacobiCN(2/3*EllipticK(1/2),1/2) evalúa a $0.473058826656122429170671314726$ . Desde ISC encontramos que es una solución de $$ Z^4-2Z^3-6Z+3=0 $$ que se puede escribir $$ {\frac { \left( 1+2\,\sqrt [3]{6} \right) ^{3/4}+\sqrt [4]{1+2\, \sqrt [3]{6}}-\sqrt {-2\,\sqrt [3]{6}\sqrt {1+2\,\sqrt [3]{6}}+2\, \sqrt {1+2\,\sqrt [3]{6}}+14}}{2\sqrt [4]{1+2\,\sqrt [3]{6}}}} $$
Por otro lado, si $1/2$ es $m=k^2$ entonces en Maple queremos JacobiCN(2/3*EllipticK(1/sqrt(2)),1/sqrt(2)) que se evalúa como $0.43542054468233904782250442376$ . Esta es una solución de $-1+2Z+2Z^3-Z^4=0$ .
