Lebesgue Integración y la Convergencia de los Teoremas

Question

Estaba leyendo a través de Royden, Bartle y otros Teoría de la Medida los libros de texto y vi a este problema más de una vez. Si $f \in L(X,\mathcal{A},\mu)$$\varepsilon > 0$, entonces existe una función simple $\varphi$ tal que

$$\int |f-\varphi| \; d\mu < \varepsilon.$$

Sigo teniendo problemas para configurar una desigualdad que puede satisfacer este por lo que cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Primero muestran que para un no-negativo medibles función de $f: X \to [0, \infty]$ existe una secuencia de no negativo funciones simples $(s_n)$ tal que $s_n \leq s_{n+1}$ $\lim_{n \to \infty} s_n(x) = f(x)$ pointwise para todos los $x \in X$.

Para mostrar esto se puede construir a $s_n$ explícitamente como sigue (construcción tomado de aquí):

$$ s_n(x) = \begin{cases} n & \text{ if } f(x) \geq n \\  \frac{i-1}{2^n} & \text{ if } \frac{i-1}{2^n} \leq f(x) \leq \frac{i}{2^n} \text{ where } 1 \leq i \leq n2^n \end{casos}$$

A continuación, aplicar el teorema de convergencia monótona para obtener $\int_X f d \mu = \lim_{n \to \infty} \int_X s_n d \mu $.