toda la función con ist parte imaginaria positiva

Question

$f$ es toda una función, y que satisface a $f(\mathbb{C}) \subseteq \{z \in \mathbb{C} \mid \operatorname{Im} z > 0\}$. Mostrar que $f$ es constante.

Quiero tomar ventaja de la del Teorema de Liouville, pero no puedo averiguar la relación entre la parte de la imagen con su módulo.

Answer 1

Considere la posibilidad de $$g(z)=\frac{1}{f(z)+i}.$$ Clearly it is entire, and $$\left|g(z)\right|=\frac{1}{|f(z)+i|}\leq\frac{1}{1}=1.$$ Thus, $g(z)$ is constant. Applying Liouville's theorem, $g(z)$ is constant, implying $f(z)$ es constante.

NOTA: Este argumento puede ser utilizado para demostrar que la $f(\Bbb C)$ es denso en $\Bbb C$ mediante una prueba por contradicción.