La búsqueda de Soluciones (sólo con papel y lápiz)

Question

Por lo menos el valor de $k$ lo hace de la siguiente ecuación:$$e^x=kx^2$$ Tiene 3 soluciones?

Deje $f(x)=e^x$$g(x)=kx^2$.

Por un positivo $k$, dibujo áspero de un gráfico de $f(x)$ $g(x)$ muestra 2 soluciones de la ecuación. Pero, ¿qué parámetros vamos a usar mientras que la búsqueda de las condiciones en las $k$?

He utilizado la idea de que ya hay 3 soluciones, debe haber un punto donde la tasa de aumento de la $g(x)$ es mayor que la de $f(x)$ y también debe de haber un punto donde la tasa de aumento de $g(x)$ se hace menor que la tasa de aumento de la $f(x)$. Pero después de la diferenciación, se obtiene otra desigualdad que se ocupa de una función exponencial es mayor que la función lineal. El valor límite de la pendiente de la línea de la pendiente de la tangente a la curva de $e^x$ que pasa por el origen. De nuevo, esta respuesta es en términos de una constante, digamos, $h$ donde la tangente cumple con la curva. Por favor, consejos sobre cómo proceder.

Answer 1

Obviamente debemos tener $k>0$, pero, a continuación, $e^{x}=k x^2$ es equivalente a: $$ e^{x/2} = |x|\sqrt{k}. $$ $e^{x/2}$ es un aumento de la función convexa mientras que $|x|$ es una disminución de la función convexa en $\mathbb{R}^-$, por lo tanto, no es exactamente una solución negativa para cualquier valor de $k>0$. Hay dos solución positiva de (no podemos tener más que dos soluciones positivas, siempre por la convexidad) si $\sqrt{k}$ es mayor que la pendiente de la recta tangente que pasa por el origen de la gráfica de $e^{x/2}$. La ecuación de dicha recta tangente es $y=\frac{e}{2}x$ (es la línea tangente en $x=2$), por lo tanto la solución está dada por:

$$ k > \color{red}{\frac{e^2}{4}}.$$