Demostrando $f$ es Lebesgue integrable iff $|f|$ es Lebesgue integrable.

Question

Cómo podemos probar la declaración? $f$ es Lebesgue integrable si y sólo si $|f|$ es Lebesgue integrable. En primer lugar, supongamos $f$ es Lebesgue integrable, por definición, $f$ es medible y no negativo, por lo $f=|f|$ $\displaystyle \int_E f \, d \mu=\int_E|f| \, d\mu$ implica que el $|f|$ es Lebesgue integrable.

En la segunda, supongamos $|f|$ es Lebesgue integrable, si $f$ es no negativa, entonces $f=|f|$, lo $f$ es Lebesgue integrable; si $f$ es negativo, entonces ¿cómo puedo demostrar?

Answer 1

Que $f$ es medible y $\int |f| \,d\mu < \infty$ es la definición de Lebesgue-integrabilidad de $f$. (No hay necesidad de $f$ a ser no negativo. Más bien, se define en primer lugar el valor de la integral no negativos funciones y, a continuación, se utiliza para definir la integral de Lebesgue de funciones cuya distribución puede incluir tanto negativo y no números negativos.)

Que $|f|$ es Lebesgue integrable sería, por tanto, implican que el valor absoluto es el valor absoluto de a $f$. Pero ese es el mismo que el valor absoluto de a $f$.

La declaración "$f$ es Lebesgue integrable si y sólo si $|f|$ es Lebesgue integrable." no es cierto, a menos que exista una presunción de que $f$ es medible. Un contraejemplo es que $f$ $-1/2$ además de la función de indicador de un no-medibles conjunto en un espacio cuya medida es $1/2$. A continuación, $|f|$ es integrable (y su integral es $1$) sino $f$ no es mensurable.

Answer 2

Simplemente recuerde que la definición de $\mathcal{L}^1$ espacio (en el caso de $\Bbb R^n$ con el borelian $\sigma$-álgebra; el resumen caso es similar): dado $(\Bbb R^n,\mathcal{B}(\Bbb R^n),m)$ donde $m$ es la medida de Lebesgue en el espacio medible $(\Bbb R^n,\mathcal{B}(\Bbb R^n))$, luego $$ \mathcal{L}^1(\Bbb R^n,\mathcal{B}(\Bbb R^n),m):=\{f:\Bbb R^n\\Bbb R\;:\;\;\;\mbox{es Lebesgue medible y ambos}\;\int_{\Bbb R^n}f^+\,dm,\;\int_{\Bbb R^n}f^-\dm\;\mbox{finito}\}\;\;. $$ Ahora, basta con observar que $f=f^+-f^-$$|f|=f^++f^-$.