Usted no puede resolver la ecuación de Laplace con condiciones de frontera en puntos aislados. Pero, ¿por qué?

Question

Considere la posibilidad de una región acotada $\Omega\subset\mathbb R^n$ con un número finito de "agujeros" $X=\{x_1,\ldots,x_k\}$ que son puntos aislados en su interior. Estoy bastante seguro de que en más de una dimensión, no tiene sentido para resolver la ecuación de Laplace con condiciones de contorno de Dirichlet en $X$. Es decir, no existe la "válida"* $f$ tal que $$\begin{align} \nabla^2f(x) &= 0 & \text{for } & x\in\operatorname{int}\Omega\setminus X, \\ f(x) &= 0 & \text{for } & x \in \partial\Omega, \\ f(x_i) &= y_i \ne 0 & \text{for } & i=1,\dots,k. \end{align}$$ Yo siento que esto está relacionado con el hecho de que la función de Green para el Laplaciano tiene una singularidad en el origen, pero no sé cómo llegar de aquí a allá. Hay una sencilla prueba, o un conocido teorema de que el resultado deseado de la siguiente manera directa?†

Asimismo, sería útil saber si hay generalizaciones de orden superior ecuaciones diferenciales como la biharmonic ecuación, $\nabla^4f=0$.

Actualización: Como los comentarios sobre un ya eliminado respuesta implica, esto se reduce al hecho de que cualquier no-demasiado-singular punto de discontinuidad de una función armónica es extraíble. Wikipedia afirma este hecho sin pruebas o referencias, pero menciona que Riemann del teorema demuestra el teorema análogo para holomorphic funciones en el plano complejo. ¿Cuál es la prueba para armónica de las funciones de $\mathbb R^{n\ge2}$?

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*Digo "válida", ya que podría tener una función que es idéntica a cero en todas partes, excepto en $X$, pero que "no debería contar" debido a que usted puede satisfacer a absolutamente cualquier condición de frontera de Dirichlet de esa manera. Por favor, hágamelo saber el correcto PDE de la teoría de plazo para ello.

†He tenido esta pregunta surgen varias veces, cada vez que alguien piensa en hacer la interpolación de datos dispersos conectando los puntos de datos en la ecuación de Laplace. Numéricamente, terminan con un spiky-en busca de la función; matemáticamente, la solución aún no existe. En el futuro, me gustaría ser armado con un teorema de cuando tengo que explicar por qué esto no puede funcionar.

Answer 1

Referencia

Recomiendo la Clásica Teoría Potencial por Armitage y Gardiner, sección 5.2. Corolario 5.2.3 implica que si una limitada función es armónica en $\Omega\setminus F$ donde $F$ es un conjunto finito, entonces se extiende como un armónico de la función en $\Omega$. En su configuración, la función extendida estaría en contradicción con el principio del máximo.

Prueba

Voy a utilizar la función de Green, como se esperaba. Si $n>2$, de forma que la suma $$ f(x) - \epsilon\sum_{i=1}^k \|x-x_k\|^{2-n} $$ Tenga en cuenta que $f$ tiende a $-\infty$ a los puntos de $x_i$. Dejando $f(x_i)=-\infty$, obtenemos un subarmónicos de la función en todos los de $\Omega$. De hecho, una caracterización de los subarmónicos funciones de la sub-valor medio de la propiedad: para cada punto de $a$ hay $r_a>0$ de manera tal que el promedio de $f$ en todas las esferas $S(a,r)$ $r<r_a$ al menos $f(a)$. Esta propiedad tiene en $x_i$ trivialmente, y en otros puntos, por la harmonicity de $f$.

Subarmónicos funciones satisfacen el principio del máximo. Para una fija $p\in \Omega\setminus \{x_i\}$ dice
$$ f(p) \le O(\epsilon) $$ y desde $\epsilon$ fue arbitrariamente pequeño, $f\le 0$$\Omega$. La misma consideración se aplica a $-f$; por lo tanto, $f\equiv 0$.

Para $n=2$ prueba de ello es el mismo, pero tiene el logaritmo en: $$ f(x) + \epsilon\sum_{i=1}^k \log\|x-x_k\| $$

Otros inhibidores de la PDE

La palabra clave es la capacidad de: ¿un punto de set tiene cero capacidad para el operador diferencial? La la ecuación de Laplace es el de Euler-Lagrange ecuación para el funcional $\int|\nabla f|^2$, de modo que la correspondiente capacidad de punto de $p$ es $$ \inf \left\{\int|\nabla f|^2 : f=0\text{ en el límite, } f(p)=1 \right\} $$ El infimum puede ser tomado todas las funciones lisas, o sobre todas las funciones de Lipschitz: no importa. La capacidad de un punto es cero, como se puede ver por dejar a $f$ ser un escalar y versión truncada de la función de Green. Ya que la solución del problema de valor de frontera está destinado a minimizar el funcional para el límite de datos, el hecho de que el infimum es cero se dice que no hay una solución.

Para el biharmonic ecuación, el funcional es $\int|\Delta f|^2$. Es cierto que $$ \inf \left\{\int|\Delta f|^2 : f=0\text{ en el límite, } f(p)=1 \right\} =0 \quad ? $$ Sí en dimensiones $n\ge 4$, debido a que biharmonic de la función de Green es ilimitado allí (fuente). No en dimensiones $n\le 3$. La razón es que el $L^2$ norma del Laplaciano controles de $W^{2,2}$ norm (a grandes rasgos), y en las dimensiones de $n\le 3$ el Sobolev incrustación implica que $W^{2,2}$ norma controles pointwise valores de una función.

Así, el biharmonic ecuación puede ser utilizada para la interpolación en dimensiones bajas. En dos dimensiones, esto se conoce como una placa delgada de la spline. Más en general, existen polyharmonic splines: la más alta es la dimensión más uno recorre el Laplaciano para mantener la función de Green limitada.