De riemann 2-variedades que no se dio cuenta por las superficies en $\mathbb{R}^3$?

Question

Una superficie lisa $S$ incrustado en $\mathbb{R}^3$, cuya métrica es heredado de $\mathbb{R}^3$ (es decir, la distancia se mide por los caminos más cortos en $S$) es una de Riemann 2-colector: diferenciables porque lisa y con la métrica que acabamos de describir. Dos preguntas:

1. Son tales las superficies de un subconjunto de la totalidad de Riemann 2-variedades? Hay de Riemann 2-variedades que no se "dio cuenta" por cualquier superficie incrustado en $\mathbb{R}^3$? Supongo _Yes_.
2. Si es así, ¿hay alguna caracterización de los cuales Riemann 2-variedades son realizadas por tales superficies? En la ausencia de una caracterización, ejemplos de ayuda.

Gracias!

Edit. A la luz de las respuestas útiles, una agudización de mi pregunta se me ocurre: 3. Es el único impedimento incrustación vs inmersión? Es cada Riemann 2-colector realizado por una superficie inmerso en $\mathbb{R}^3$?

Answer 1

El Whitney incrustación teorema dice que siempre se puede incrustar un suave $n$-colector en $\mathbb{R}^{2n}$, y la sumerja en $\mathbb{R}^{2n-1}$. Nonorientable las superficies de Riemann, por ejemplo, no se pueden incrustar en $\mathbb{R}^3$, pero hay algunas bastante buenas inmersiones (la típica imagen de la botella de Klein es un buen ejemplo).

Para un colector de Riemann, Nash y Kuiper demostrado que hay un $C^1$ a nivel mundial isométrica integración en $\mathbb{R}^{2n+1}$ (y, de hecho, que puede arbitrariamente se aproximan a cualquier métrica $C^\infty$ integración en al menos $\mathbb{R}^{n+1}$ global isométrica $C^1$ incrustación de objetos). Para un global isométrica $C^\infty$ incrustación, parece que el actual límite inferior es max$(n(n+1)/2+2n,n(n+1)/2+n+5)$. Por uno local, usted puede hacerlo en $n(n+1)/2+n$-espacio.

Esto significa que para un mundo isométrico y analítica de la incrustación de una superficie, puede que tenga que ir a a $\mathbb{R}^{10}$. Ew.

Answer 2

El plano hiperbólico no puede ser sin problemas isométricamente incrustado en $\mathbb{R}^3$. Puede ser así en $\mathbb{R}^5$. Está abierto (que yo sepa) si puede ser incrustado en $\mathbb{R}^4$. Creo que esto se menciona en Do Carmo, el libro de curvas y superficies.

Edit: No una caracterización completa, pero Amsler ha demostrado (ver más abajo para referencia) que cualquiera de Riemann de la superficie con curvatura negativa constante, si intento ser incrustada en $\mathbb{R}^3$, debe tener singularidades.

---

Amsler, M. H., Des superficies de un courbure negativa constante dans l'espace trois dimensiones et de leurs singularites, Matemáticas. Ann. 130, 1955, 234-256

Answer 3

Hay punteros que apuntan a una gran cantidad de información sobre esta cuestión en las respuestas a las Matemáticas de Desbordamiento de la pregunta, que usted menciona en su comentario a Pablo VanKoughnett la respuesta.

En particular, Deane Yang respuesta da un buen resumen de la situación, y el proyecto de Ley de Thurston respuesta parece dar una buena perspectiva sobre el problema de tratar de encontrar una caracterización de Riemann colectores que admitir que esta inclusión.

Respecto a la tercera pregunta que usted menciona en una edición. Esto es esencialmente un problema local. Todo esto desde el mismo MO pregunta:

Desde BS respuesta: no hay ni siquiera un local isométrica de la incrustación en general: http://www.springerlink.com/content/m775p64w64351260/

de la Voluntad Irregular de la respuesta (y Deane Yang comentarios sobre ella): Si la métrica es analítica, entonces usted puede construir un local isométrica de la incrustación. Algunos de los recientes avances en la caracterización de los requisitos cuando el grado de suavidad es relajado: http://arxiv.org/abs/1009.6214 La bibliografía para que el último no tiene escasez de otros títulos que suenan.